Определенный интеграл

Координаты центра тяжести плоской фигуры вычисляются по формулам:
, (9.32)
, (9.33)
где m – масса фигуры, определяемая по формуле:
. (9.34)
П ример 18. Найти координаты центра тяжести полукруга (рис. 9.22), при условии .
Решение. Площадь полукруга равна . Найдем массу этой фигуры:
.
Так как фигура симметрична относительно оси Oy, то . Используя формулу 9.28, найдем :

.
По формуле 9.33, получаем:
.
Центр тяжести имеет координаты .

9.15. Несобственные интегралы

Несобственными интегралами называются 1) интегралы с бесконечными пределами (несобственные интегралы 1-го рода); 2) интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы 2-го рода).
Несобственный интеграл от функции в пределах от до определяется равенством
. (9.35)
Если этот предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся, если же предел не существует или равен бесконечности, то интеграл называется расходящимся.
Аналогично определяются:
и . (9.36)
Если функция имеет бесконечный разрыв в точке отрезка и непрерывна при и при , то несобственный интеграл 2-го рода определяется следующим равенством:
. (9.37)
Несобственный интеграл 2-го рода называется сходящимся, если оба предела в правой части существуют и конечны; если же хотя бы один из интегралов не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называется расходящимся.
Пример 19. Вычислить несобственные интегралы (или установить их расходимость): а) ; б) ; в) .
Решение. а) Согласно формуле (9.35) получим
,
т.е. предел не существует и несобственный интеграл расходится.
б) Используя четность подынтегральной функции и формулу (9.36), получим:
.
Следовательно, несобственный интеграл сходится и равен .
в) Используя формулу (9.37), получим:
.
Следовательно, несобственный интеграл расходится.