Определенный интеграл

9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

9.1. Понятие определенного интеграла

Пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b]. Этот отрезок разделим на n произвольных, необязательно равных, частей:
a=x₀ < x₁ < ... < x_n=b.
В этом случае говорят, что произведено разбиение отрезка [a,b]. На каждом участке разбиения [x_i–1, x_i] возьмем произвольную точку _i и вычислим значение функции f(x) в этих точках. Если умножить полученные значения функции f(_i) на длину соответствующего участка x_i = x_i–x_i–1 и просуммировать , то получим
, (9.1)
которая называется интегральной суммой функции f(x) на отрезке [a,b].
Обозначим через x =max x_i.

Если предел последовательности интегральных сумм

. (9.2)
существует, т.е. конечен и не зависит от способа разбиения отрезка [a,b] и от выбора точек _i на соответствующих участках, то этот предел называется


Определенным интегралом функции f(x) на отрезке [a,b] и обозначают
. (9.3)
Здесь число a называется нижним пределом, число b называется верхним пределом интеграла.
Функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a,b], если для этой функции на указанном отрезке существует предел интегральных сумм, т.е. определенный интеграл. Необходимое условие интегрируемости: если функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b], то она ограничена на этом отрезке. Достаточное условие интегрируемости: если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема на этом отрезке.