Определенный интеграл

Пример 3. Вычислить интегралы
а) , б) .
Решение. а) Воспользуемся формулой (9.6) интегрирования по частям, для этого положим u=x, dv=e^–xdx, откуда du=dx, v=–e^–x. Тогда
.
б) Применяя формулу интегрирования по частям, получим

.

9.6. Вычисление площадей плоских фигур

Рис. 9.1.

Напомним геометрический смысл определенного интеграла
.
Если f(x)0, то определенный интеграл есть площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), прямыми x=a и x=b, а также осью Ox. Если же функция f(x) 0, то определенный интеграл будет меньше нуля. Знак минус означает, что криволинейная трапеция расположена ниже оси Ox и ее площадь будет равна S= . Может оказаться, что функция f(x) на отрезке интегрирования несколько раз меняет знак. В этом случае интеграл нужно разбить на сумму интегралов по участкам, на которых подынтегральная функция имеет постоянный знак. Например, площадь фигуры на рис. 9.1 будет иметь вид
S= .
Пример 4. Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями:
а) y=sinx, y=0, 0x2; б) y=x–x², y=0, 0x2.

Рис. 9.2

Решение. а) Сделаем чертеж (см.
рис. 9.2). Так как при 0x sinx0 и при x2 sinx0, то
(кв. ед.)

Рис. 9.3

б) Сделаем чертеж (см. рис. 9.3). Найдем точки пересечения параболы с осью Ox:

Из рисунка видно, что
(кв. ед.)

Рис. 9.4

Пусть плоская фигура на отрезке [a,b] ограничена графиками двух функций y=f₁(x) и y=f₂(x), причем f₂(x)f₁(x) (см. рис. 9.4). Тогда искомая площадь вычисляется по формуле:
. (9.7)

Рис. 9.5

Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x–x², y=–x.
Решение. Сделаем чертеж (см. рис. 9.5). Найдем точки пересечения параболы и прямой:

Поскольку на отрезке [0;2] x–x²  –x, то площадь заданной фигуры будет равна
.
Пример 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=–x², y=x–2, y=0.

Рис. 9.6

Решение. Из чертежа (см. рис. 9.6) видно, что искомую площадь S фигуры OAB можно рассматривать как площадь над кривой OAB на отрезке [0;2]. Однако указанная кривая (ломаная) не задается одним уравнением. Поэтому для нахождения искомой площади разобьем фигуру OAB на две части: OAC и ACB. Найдем абсциссу точки A:



Таким образом, точка A имеет координаты (1;–1). После этого находим площадь заданной фигуры:
(кв.ед.).

Рис. 9.7

Заметим, что криволинейная трапеция может образовываться графиком функции также и с осью Oy (см. рис. 9.7). Тогда площадь такой криволинейной трапеции можно записать в виде
. (9.8)
Такой случай следует иметь ввиду, поскольку это может сильно сократить вычисления.
В частности, последний пример можно решить относительно оси Oy (переменной y). В этом случае фигура OAB будет ограничена снизу кривой , а сверху – прямой x₂=y+2. В результате, площадь фигуры будет вычисляться следующим образом:
(кв.ед.)

Рис. 9.8

Пример 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами:
y²=2x и y²=6–x (см. рис. 9.8).
Решение. Будем искать площадь данной фигуры относительно оси Oy. Ординаты точек пересечения линий равны y₁=–2 и y₂=2. Следовательно,
(кв. ед.)

9.7. Параметрические функции

Пусть верхняя граница криволинейной трапеции задана параметрическими уравнениями: x=x(t), y=y(t), t₁ t t₂, причем x(t₁)=a, x(t₂)=b. Поскольку площадь криволинейной трапеции задается формулой S= (если y(x)0 на отрезке [a,b]), то, производя замену переменной, получим формулу для вычисления площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной параметрически:
(9.9)
Пример 8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом ( рис. 9.9):

Рис. 9.9

.
Решение. Вычислим площадь верхней половины эллипса, а затем результат удвоим. Здесь x меняется от –a до a, следовательно, t должно изменяться от  до 0. Таким образом,
.
Пример 9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью Oy и одной аркой циклоиды (см. рис. 9.10):

Рис. 9.10

Решение. Для получения одной арки циклоиды, достаточно чтобы t изменялось от 0 до 2. Тогда по формуле (9.9) получим

Пример 10. Вычислить площадь петли кривой (см. рис. 9.11):

Рис. 9.11

Решение. Кривая пересекается с осью Ox в двух точках: x₁= –a и x₂=3a при t₁=0 и t_2,3=2. Площадь петли находим как удвоенную площадь верхней ее половины:
.
9.8. Полярная система координат
Пусть кривая задана в полярных координатах уравнением: =(), , причем функция () непрерывна и неотрицательна на отрезке []. Плоскую фигуру, ограниченную кривой () и двумя лучами, составляющими с полярной осью углы  и , будем называть криволинейным сектором (рис.9.12).

Рис. 9.12

Площадь криволинейного сектора вычисляется по формуле:
. (9.10)
Пример 11. Вычислить площадь ограниченной: а) лемнискатой Бернулли ²=a²cos2 ; б) трехлепестковой розой =acos3.
Решение. а) Поскольку ²0, то cos20. Отсюда получаем
,

Рис. 9.13

где kZ. Таким образом, данная кривая расположена в двух секторах (см. рис. 9.13). Для нахождения искомой площади достаточно вычислить четверть площади, а затем умножить ее на 4. Воспользуемся формулой 9.10 :

.
б) Поскольку 0, то cos30. Тогда получаем:
,

Рис. 9.14

где kZ. Таким образом, данная кривая будет расположена в трех секторах (см. рис. 9.14). Для нахождения искомой площади достаточно вычислить площадь половины одного "лепестка" и умножить ее на 6:
.

9.9. Вычисление длины дуги плоской кривой

Если кривая на отрезке [a; b] – гладкая (т.е. производная – непрерывна), то длина соответствующей дуги этой кривой находится по формуле:
. (9.11)
При параметрическом задании кривой (здесь – непрерывно дифференцируемые функции) длина дуги кривой, соответствующая монотонному изменению параметра t от t₁ до t₂, вычисляется по формуле:
. (9.12)
Если гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением , , то длина дуги равна:
. (9.13)
Пример 13. Найти длину кардиоиды (рис. 9.15).
Решение. Найдем производную :
.Подставляя в формулу (9.13) получим:

.

9.10. Вычисление площади поверхности вращения

Пусть функция f(x) неотрицательна и непрерывна вместе со своей производной на отрезке [a,b]. Тогда площадь поверхности, образованная вращением графика этой функции вокруг оси Ox, будет вычисляться по формуле:
. (9.14)
Пример 14. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox: а) отрезка прямой ; б) одной арки синусоиды y=sin x ; в) одной арки циклоиды x=a(t–sint), y=a(1–cost) ; г) параболы y²=2px, 0xa; д) дуги окружности x²+y²=R².
Р ешение. а) Вычислим площадь поверхности, полученной вращением отрезка прямой вокруг оси Ox (рис. 9.16). Найдем производную: . Подставляя в формулу (9.14) получим:
.
б) Согласно формуле (9.14), получим


(ед.кв.).
Замечание. При вычислении интеграла было использовано свойство 4 определенного интеграла (см. 9.2) и табличный интеграл (отметим, что этот интеграл можно было найти и методом интегрирования по частям).
в) В параметрической форме формулу (9.14) можно записать в следующем виде:
. (9.15)
Тогда площадь поверхности, образованной вращением одной арки циклоиды вокруг оси Ox, будет равна

.
г) Поскольку , , , то по формуле (9.14) получим

д) Пусть дуга окружности с центром в начале координат и радиусом R вращается вокруг оси Ox. Из уравнения окружности x²+y²=R² имеем y²=R²–x², yy= –x, значит
.
Таким образом, площадь сферы S=4R².