Oliy matematika fanidan mustaqil ishi

n-tartibli determinantlar. Quyidagi

ko‘rinishdagi n² ta sondan iborat jadval w-tartibli kvadrat matritsa deyiladi. Bu matritsaning determinanti yoki n -tartibli determinant deb,

kabi belgilanuvchi songa aytiladi.Determinantning yuqorida keltirilgan barcha xossalari n- tartibli determinant uchun ham o‘rinlidir. n-tartibli determinantni

hisoblashda quyidagi usullar qo‘llaniladi.Tartibni pasaytirish (yoki yoyish) usuli. Bu usulda determinant biror qatoming elementlari bo‘yicha yoyiladi. Odatda, yoyishdan oldin bu qatoming faqat bitta noldan farqli elementi qoldiriladi.
1-misol. Determinantni hisoblang:

Uchinchi satmi (-2 ) ga ko‘paytirib, 1- satrga, 4 ga ko'paytirib, 2- satrga qo‘shamiz va hosil bo‘lgan determinantni 1-ustun elementlari bo‘yicha yoyamiz:

Uchburchakli ko ‘rinishga keltirish usuli. Bu usulda determinant diagonallaridan birining bir tomonidagi barcha elementlar nollar bo‘lgan ko‘rinishga keltiriladi.

2-misol. Determinantni hisoblang:



Birinchi satmi qolgan barcha satrlardan ayirib quyidagini hosil qilamiz:




Rekurrent munosabatlar usuli. Bu usul berilgan determinantni xuddi shu shakldagi quyi tartibli determinantlar yordamida ifodalash mumkin bo‘lganida qo‘llaniladi.
3-misol. Ushbu beshinchi tartibh Vandermond determinantini hisoblang:

Ikkinchi va uchinchi tartibli Vandermond determinantlari:

dan ko'rinadiki, D₂ ham ko'rinishdagi barcha ayirmalarning ko'paytmasiga teng bo‘ladi:

Shu usulda n-tartibli Vandermond determinantini ham hisoblash mumkin (mustaqil bajarib ko‘ring!).

n noma’lumli n ta chiziqli tenglama sistemasi berilgan bo‘lsin:

Bu sistema kamida bitta yechimga ega bo‘lsa, birgalikdagi sisiema,yechimga ega bo‘lmasa, birgalikdamas sistema deyiladi. Birgalikdagi sistema yagona yechimga ega (aniq sistema) yoki cheksiz ko‘p yechimga ega (aniqmas sistema) bo‘lishi mumkin. Quyidagi determinantlarni tuzamiz:

B u yerda sistema determinanti (1) dagi noma’lumlaming koeffitsiyentlaridan, _k(k = l,nj esa da k- ustunni ozod hadlar ustuni bilan almashtirishdan hosil bo‘ladi.
Agar bo‘lsa, (1) sistema birgalikda va yagona yechimga ega, ya’ni aniq sistema bo'ladi. Bu yechim

formulalar bilan topiladi. Sistemani yechishning bu usuli Kramer qoidasi deyiladi.

1- misol. Tenglamalar sistemasini yeching:

determinantlami hisoblaymiz:

bo‘lgani uchun sistema birgalikda va yagona yechimga ega (aniq sistema). Bu yechimni topamiz:


2- misol. Tenglamalar sistemasini yeching:



Sistema yagona yechimga ega. Yechimni Kramer formulalari yordamida topamiz:

Agar sistema determinant bo‘lib:

bo‘lsa, (1) sistema cheksiz ko‘p yechimlarga ega (aniqmas sistema);
lardan birortasi noldan farqli bo'lsa, sistema ycchimga ega emas (biigalikdamas sistema). Ushbu bir jinsli

s istema da yagona nol (trivial) yechimga ega,

bo‘lganida esa noldan farqli (notrivial) cheksiz ko‘p yechimlarga ega. Bir jinsli sistemalami tekshirish va yechish istalgan algebraik tenglamalar sistemalarini yechishga bag‘ishlangan bobda qaraladi.