Oliy matematika fanidan mustaqil ishi

Chiziqli almashtirish va Matritsa tushunchasi.

tenslik orqali x, у o‘zgaruvchilarni x', y' orqali ifodalash mumkin. Bu tenglikni x', y ' o ‘zgaruvchilarni chiziqli almashtirish deyiladi. Ularning nuqta koordinatilarini chiziqli almashtirish kabi qarash mumkin.

m ta satr va n ta ustundan iborat

ko‘rinishdagi jadval (m n)-o‘lchovli to‘g ‘ri burchakli matritsa yoki

(m n)-matritsa deyiladi. Faqat nollardan iborat bo‘lgan matritsa nol-matritsa deyiladi va u ko‘pincha Q harfi bilan belgilanadi.m=n bo‘lsa, A matritsa n-tartibli kvadrat matritsa deyiladi. Kvadrat matritsaning determinanti noldan farqli, ya’ni
det A 0 bo‘lsa, u xosmas (maxsusmas), detA = 0 da esa xos (maxsus)
matritsa deyiladi. Kvadrat matritsa uchun diagonal, skalar, birlik (u ko'pincha E harfi bilan belgilanadi) matritsa tushunchalari mavjud, ulami 3-tartibli matritsa misolida keltiramiz:

A matritsada satrlarni mos ustunlar bilan almashtirishdan hosil bo'lgan A^T matritsa A ga transponirlangan matritsa deyiladi. Agar A = A^T bo‘lsa, A — simmetrik matritsa deyiladi. Matritsa bitta satrdan iborat bo'lsa satr-matritsa, bitta ustundan iborat bo‘lsa ustun-matritsa yoki vektor ham deyiladi. Ustun-matritsaning trans-

ponirlangani satr-matritsa bo‘ladi va, aksincha.Mos elementlari teng bo‘lgan bir xil o‘lchamli matritsalar teng matritsalar deyiladi. Bir xil o‘lchamli matritsalarni qo‘shish (ayirish) mumkin. Buning uchun ulaming mos (bir xil o'rindagi) elementlarini qo‘shish (ayirish) kerak. Istalgan matritsani songa ko‘paytirish mumkin. Buning uchun ulaming mos (bir xil o‘rindagi) elementlarini qo'shish (ayirish) kerak.
Istalgan matritsani songa ko‘paytirish mumkin. Buning uchun uning barcha elementlarini shu songa ko‘paytirish kerak.
jadval qaralayotgan chiziqli almashtirish matritsasi deyiladi.

c hiziqli almashtirishlarning determinanti deyiladi. Bundan so‘ng deb qaraladi.

Chiziqli almashtirishni uch o'zgaruvchili deb qarash mumkin:


bu yerda

lar bu chiziqli almashtirishning mos ravishda matritsasi va determinant deyiladi.

Agar bo‘lsa, A matritsa xosmas (xos) deb ataladi.

lar mos ravishda 2-nchi va 3-nchi tartibli kvadrat matritsa deyiladi. K o ‘p ta’riflami umumlashtirish uchun ulami 3-nchi tartibli matritsa uchun beriladi. Ularni 2-nchi tartibli matritsa uchun qo‘llash kiyinchilik tug‘dirmaydi. Agar kvadrat matritsaning elementlaria _mn = a _nm shartni qanoatlantirsa, matritsa simmetrik deyiladi.

matritsalar teng bo‘lishi uchun a_mn = b_mn shartning bajarilishi zarur va yetarlidir. А, В matritsalar yig‘indisi quyidagicha aniqlanadi:

A matritsani m soniga ko‘paytirish uchun uning har bir elementini m ga ko‘paytiramiz:

A, В matritsalar ko‘paytmasi quyidagicha aniqlanadi:

Ko‘paytma matritsaning i-chi qator va k-chi ustunda turuvchi elementi, A matritsa i-nchi qatoridagi elementlarini В matritsa k-nchi ustunining mos elementlariga ko‘paytmalari yig‘indisiga teng.Ikki matritsaning ko‘paytmasi umuman o‘rin almashtirish xossasiga bo‘ysinmaydi. Ikki matritsa ko‘paytmasiining determinanti bu matritsalar determinantlari ko‘paytmalariga teng.Hamma elementlari nollardan iborat bo‘lgan matritsa nol- matritsa deyiladi.

Bu matritsa uchun: A + 0 = A.

ni birlik matritsa deyiladi.

Bu matritsaning A ga chapdan va o‘ngdan ko‘paytmasi A ga teng: AE=EA=A. Birlik matritsaga ayniy chiziqli almashtirish to'g'ri keladi: x= x' , y= y' z= z' . Agar AB=BA = E ga teng bo‘lsa, В matritsa A ga teskari matritsa deyiladi. A ga teskari matritsani A^-1 bilan belgilanadi: B = A^-1. H ar qanday xos emas matritsa teskari
matritsaga ega. Teskari matritsa quyidagicha topiladi:

А_mn ga A matritsa determinantidagi а_mn elementning algebraik to'ldiruvchisi deyiladi, ya’ni А_mn — A matritsa determinantidagi m -nchi qator va «-nchi ustunini o‘chirishdan hosil boMgan ikkinchi tartibli determ inant (m inor) bilan (- l)^m+n ifoda ko‘paytmasidir.

matritsa ustun matritsa deyiladi.

AX ko‘paytma quyidagicha aniqlanadi:

sistemani A X = B ko‘rinishda yozish mumkin, bu yerda

Bu sistem an in g y ech im i X = A^-l *B bo’ladi:

matritsaning xarakteristik tenglamasi

Bu tenglamaning ildizlari lar matritsaning xarakteristik sonlari deyiladi. Agar boshlangich matritsa simmetrik bo’lsa, lar haqiqiy bo’ladi.

tenlamalar sistemasi, undagi xarakteristik son lardan birini qabul qiladi va shuning uchun determinanti nolga teng boiadi. Shu xarakteristik songa mos uchta sonni aniklaydi. Bu uchta sonlar to‘plam i o ‘zgarmas

ko‘paytuvchi aniqligida noldan farqli vektorni aniqlaydi, uni matritsaning xos vektori deb ataladi.