Oddiy differensial tenglamalar sistemasi

1-hol. bo’lsin.Bunda (3) tenglama

Ko’rinishda yozib olinadi va almashtirish yordamida o’zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga keltiriladi.
2-hol. va bo’lsin.Bu holda tenglama

ko’rinishdagi bir jinsli tenglamaga kiritiladi.
3-hol. bo’lsin.U holda (3) tenglama

Bo’lib uning umumiy yechimi bo’ladi.
Agar m sonini tanlash hisobiga (2) tenglamani almashtirish yordamida bir jinsli tenglamaga keltirish mumkin bo’lsa, bunday (2) tenglama umumlashgan bir jinsli tenglama deyiladi.


1.3.Chiziqli va unga keltiriladigan differensial tenglamalar.
Ushbu
(1)
ko’rinishdagi tenglama birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama deyiladi, bu yerda va berilgan oraliqda aniqlangan uzluksiz funksiyalar.Chiziqli differensial tenglamalarni yechishning eng keng tarqalgan usuli o’zgarmasni variatsalash usulidir.Shu usulni bayon qilamiz.
O’zgarmasni variatsalash usuli . Agar (1) tenglamada bo’lsa, u holda
(2)
ko’rinishdagi tenglama hosil bo’lib, u (1) chiziqli tenglamaga mos bir jinsli tenglama deyiladi.
Avvalo, (2) tenglamani, ya’ni (1) chiziqli tenglamaga mos bir jinsli tenglamani yechamiz.(2) tenglama o’zgaruvchilari ajraladigan tenglama bo’lib, u
(3)
Ko’rinishdagi umumiy yechimga ega.(1) tenglamaning umumiy yechimini toppish uchun (3) dagi C o’zgarmasni variatsalaymiz,ya’ni (3) formulada C o’zgarmasning o’rniga
(4)
Endi esa (4) funksiyani va undan olingan hosilani

1. 
   tenglamaga qo’yamiz.Natijada oson integrallanadigan
   

(5)
Differensial tenglamaga kelamiz .Unda C(x) funksiyani topamiz:

Topilgan C(x) funksiyani (4) formulaga qo’yib, berilgan (1) chiziqli tenglamaning umumiy yechimiga ega bo’lamiz :
(6)
Birinchi tartibli (1) chiziqli tenglamaning umumiy yechimini (6) formula yordamida aniqlashda
va aniqmas integrallarning har biridagi boshlang’ich funksiyalardan bittasini olish yetarli, chunki ularga ixtiyoriy o’zgarmaslarnin qo’shish faqat ixtiyoriy C o’zgarmasning qiymatini o’zgartiradi, xolos, bu esa differensial tenglamaning umumiy yechimi uchun muhim emas.
Bu usulning nomi C o’zgarmasni x argumentning funksiyasi deb qarab, uni variatsalaganimizdan (o’zgartirmaganimizdan) kelib chiqgan.
Bu yerda ko’rib chiqilgan o’zgarmasni variatsalash usuli bitta (1) chiziqli tenglamani integrallash masalasini o’zgaruvchilari ajraladigan ikkita (2) va (5) tenglamaning yechimlarini izlashga olib keladi.