Oddiy differensial tenglamalar sistemasi

1.2.Bir jinsli oddiy differensial tenglamalar
Avvalo bir jinsli differensial tenglamalarni yechishga misol keltiraylik.
1-misol.Bir jinsli

Differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.
YECHISH: belgilashni kiritsak, tenglama yoki

ko’rinishga o’tadi.
deb faraz qilib, ohirgi tenglamadan o’zgaruvchilari ajralgan

tenglamani hosil qilamiz.Tenglikning chap tomonidagi ifodani soda kasrlarga yoyib va integrallab
yoki
yechimni topamiz, bo’lganligi uchun, o’rniga qo’yib yechimga ega bo’lamiz.
Endi va xollarni alohida tekshiramiz.
bo’lganligi uchun bo’ladi, lekin uni tenglamaga qo’yib bo’lmaydi, chunki mahrajda qatnashyapti. yoki , yoki ning mahsus yechim ekaniga ishonch hosil qilamiz.
2-misol. differensial tenglamani yeching.
Yechish: almashtirishni bajarsak, berilgan tenglama
yoki ko’rinishga o’tadi.Bu bir jinsli tenglama.Shuning uchun
,
almashtirish orqali o’zgaruvchilari ajralgan



tenglamani hosil qilamiz.Yna bir bora deb,

Yoki

tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamani integrallasak,

Boshlang’ich o’zgaruvchilarga qaytish orqali
, , umumiy yechimni hosil qilamiz.

Ushbu
(1)

ko’rinishdagi differensial tenglama bir jinsli differensial tenglama deyiladi, bu yerda -berilgan funksiya.

1. 
   tenglamani yechish uchun, odatda almashtirish bajariladi. va ifodalarni (1) tenglamaga qo’yib, ko’rinishdagi o’zgaruvchilari ajraladigan tenglamani hosil qilamiz.Agar biror sonda bo’lsa, u holda (1) tenglama umumiy yechimdan kelib chiqmaydigan yechimga ham ega bo’ladi.
   

funksiya berilgan bo’lsin.Agar shunday m haqiqiy son topilsaki,ixtiyoriy haiqiy son uchun

tenglik bajarilsa, u holda funksiya m-tartibli bir jinsli funksiya deyiladi.
Agar ( va funksiyalar bir xil tartibli bir jinsli funksiyalar bo’lsa, u holda
(2) Tenglama bir jinsli tenglama bo’ladi.Bu tenglama ham almashtirish yordamida o’zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga keltirib yechiladi.
Ushbu
(3)
Bu yerda i=1,2, tenglama bir jinsli tenglamaga keltiriladigan tenglamalar sirasiga kiradi.Bunda sonli ifodaning qiymati muhim ahamiyatga ega.Bu yerda 3 ta hol bo’lishi mumkin.