Оддий дифференциал тенгламалар

1-Теорема: Агар функция (3) тенгламанинг ечими бўлса, у ҳолда ( ) функция ҳам бу тенгламани ечими бўлади.

• (4)

• (6)

• (5)

2-Теорема: Агар ва тенгламанинг ечимлари бўлса, у ҳолда функция ҳам бу тенгламанинг ечими бўлади.

• ,

• (7)

• (8)

Натижа: Агар функциялар (2) тенгламанинг хусусий ечимлари бўлса, у ҳолда уларнинг чизиқли комбинатцияси ҳам берилган тенгламанинг ечими бўлади ва унга фундаментал ечимлар системаси дейилади.

• (9)

• Таъриф:

• марта дифференциалланувчи

• функциялар системасининг

• Вронский детерминанти ёки

• вронскиани

• деб

• детерминантига айтилади.

• (10)

Агар функциялар системаси чизиқли боғлиқ бўлса бу системанинг Вронский детерминанти функция аниқланган барча нуқталарида айнан нолга тенг бўлади.

• Агар функциялар чизиқли эркли ва чизиқли бир жинсли тенгламанинг ечимлари бўлса, у ҳолда бу функциянинг Вронский детерминанти тенгламанинг коэффициентлари аниқланган соҳанинг ҳеч бир нуқтасида нолга тенг бўлмайди.

• 1-Теорема:

• 2-Теорема:

• (Дифференцал тенглама умумий ечимининг структураси тўғрисида) n - тартибли чизиқли бир жинсли дифференциал тенгламанинг n та ечими унинг фундаментал системаси бўлса, у ҳолда бу тенгламанинг умумий ечими бу ечимларнинг чизиқли комбинатциясидан иборат бўлади, яъни

• бу ерда

• 3- Теорема:

• ихтиёрий ўзгармаслар.

• (11)

• Ўзгармас коэффициентли бир

• жинсли юқори тартибли чизиқли

• дифференциал тенгламалар

• (1)

• (2)

• (3)

• ,

• ,

• (4)

• ёки

• (5)

• Бу ерда қуйдаги уч ҳол бўлиши мумкин:

• Характеристик тенгламанинг илдизи иккита,
• ҳақиқий, ҳар хил сонлар, яъни , D>0

• Бу ҳолда (1)- дифференциал тенгламанинг умумий ечими

• (6)

• 2) Характеристик тенгламанинг илдизи иккита,
• ҳақиқий, бир хил сонлар, яъни , D=0

• Бу ҳолда (1)- дифференциал тенгламанинг умумий ечими

• (7)

• 3) Характеристик тенгламанинг илдизи иккита,
• қўшма комплекс сонлар, яъни , D<0

• бу ерда

• Бу ҳолда (1)- дифференциал тенгламанинг умумий ечими

• (8)

• Мисол:

• ,

• 1.

• 2.

• 3.

• Ўнг томони махсус кўринишдаги

• ўзгармас коэффициентли бир жинслимас

• дифференциал тенглама

• хусусий ечимини топиш.

• Чизиқли бир жинсли бўлмаган
• дифференциал тенгламанинг умумий
• ечими бу тенгламанинг хусусий
• ечими ва мос бир жинсли тенгламанинг
• умумий ечими йиғиндисидан иборат:

• Теорема:

• (1)

• (3)

• (2)

• 1)

• а).

• - сон характеристик тенгламанинг илдизи билан устма уст тушмайди, яъни

• Хусусий ечим

• кўринишда қидирилади.

• (4)

• (5)

• (6)

• б)

• - сон ва ларни биттаси билан устма уст тушади. У ҳолда қуйидаги кўринишда қидирилади ( ).

• (7)

• - сон ва илдизлар билан устма уст тушади . У ҳолда хусусий ечим қуйидаги кўринишда қидирилади ( ).

•