Общие сведения предварительные замечания

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ РЕЗОНАНСЫ

Фундаментальная матрица Коши и матрица перехода. Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений (3) с периодической матрицей коэффициентов Совокупность независимых решений системы (3) образует фундаментальною матрицу

где первый индекс обозначает номер функции, второй — номер решения. Фундаментальную матрицу, удовлетворяющую начальному условию

называют фундаментальной матрицей Коши или матрицантом. Значения матрицанта в конце первого периода, т. е.
называют матрицей перехода (матрицей монодромии ).
Мультипликаторы. Если известно решение системы (3) при , то решение при период матрицы ] выражается как

Собственные значения матрицы перехода — корни уравнения

называют мультипликаторами. Свойства решений уравнения (3), в частности устойчивость или неустойчивость его нулевого решения, полностью определяются свойствами мультипликаторов, точнее, свойствами характеристического уравнения (10). Для всякого мультипликатора р найдется хотя бы одно решение, обладающее свойством

В частности, мультипликатору отвечает периодическое решение с периодом
Мультипликатору решение с периодом . Далее эти решения называют
соответственно - и - периодическими.
Мультипликаторы системы уравнений с действительными коэффициентами — действительные или попарно комплексно-сопряженные числа. Если в уравнении (1) матрица , а матрицы
четные функции времени, т. е. то мультипликаторы попарно связаны соотношением

Соотношение (12) справедливо также для канонических систем (см. ниже).
Канонические системы. Уравнение (3) можно представить в виде


Здесь — симметричная матрица-функция; — матрица вида
)
единичная матрица размерности . ) Уравнения (13) в компонентах имеют ту же структуру, что и канонические уравнения Гамильтона в аналитической механике. Системы уравнений, приводимые к виду (13), а также соответствующие механические системы называют каноническими. Наиболее важный пример механических систем канонического типа — системы с идеальными голономными стационарными связями, нагруженные силами, которые выражаются через силовую функцию. Сели силовая функция — периодическая функция времени, то уравнения движения можно привести к виду (13) с периодической матрицей