Общие сведения предварительные замечания

4. ОБЛАСТИ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ СИСТЕМ
С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
Общая схема метода малого параметра. Метод малого параметра позволяет получить достаточно простые приближенные соотношения для границ областей неустойчивости, если глубина модуляции параметров, а также диссипация в системе достаточно малы. В этом случае уравнение (1) может быть записано в виде

Где симметричные положительно определенные постоянные матрицы;
периодические матрицы-функции; малый параметр. Матрицы
кроме того, являются аналитическими функциями в окрестности
По предположению диссипация в системе и глубина модуляции параметров имеют одинаковый порядок малости. В реальных задачах эти факторы, как правило, изменяются независимо. Можно также построить схему вычислений, где используется разложение по степеням двух независимых малых параметров.
Пусть собственные частоты соответствующей консервативной
системы, т.е. корки уравнения В обычной схеме вычислений, помимо разложения в ряд по степеням малого параметра искомого решения, используют разложение частоты возбуждения или соответствующего периода. Допустим, что нужно построить решение в окрестности одной из критических частот, задаваемых соотношениями (18) или (19). Обозначим эту частоту через . Введя безразмерное время и разлагая частоту в ряд.
ищем решение уравнения (44) в виде

Последовательно решая уравнения метода малого параметра, найдем приближенные значения характеристических показателей (15) также в виде рядов по степеням . В области асимптотической устойчивости действительные части всех характеристических показателей должны быть отрицательны. Отрезки границ областей неустойчивости, примыкающие к частоте найдем, приравняв нулю действительные части соответствующих характеристических показателей.
Формулы первого приближения. Приведем формулы первого приближения (рассчитанные с точностью до ) для случая, когда уравнение параметрических колебаний имеет вид .

Здесь матрицы симметричные, положительно определенные постоянные
матрицы; постоянная матрица произвольной структуры. Параметр малости в диссипативный член не введен, хотя предполагается, что диссипация имеет порядок малости (или менее). Используя нормальные координаты [см. формулу (38) гл. III], преобразуем уравнения (46) к главным осям матрицы :

где матрица, составленная по столбцам из собственных форм консервативной системы. Введем обозначения для безразмерных диагональных элементов матрицы диссипации:
. При малой диссипации именно эти величины в основном определяют демпфирование свободных колебаний. Элементы матрицы обозначим через .
Границы областей неустойчивости при простых главных резонансах определяют по приближенной формуле [9]

Таким образом, в первом приближении взаимодействие главных обобщенных координат не влияет на условия возбуждения основных резонансов. Формула (49) эквивалентна по точности формуле (39) для системы с одной степенью свободы. Одна формула переходит в другую, если разложить внешний радикал в (39) в] степенной ряд, удержать два члена и заменить обозначения. Расхождение в формулах (39) и (49) объясняется тем, что они получены различными приближенными методами. Формула для случая отсутствия диссипации вытекает из (49) при :

Результат с точностью до членов порядка ц совпадает с приближенной формулой
(35). Для главных комбинационных резонансов суммарного типа
аналогично получаем [137, 142]
Эта формула включает в себя только парное взаимодействие форм колебаний входящих в условие комбинационного резонанса (независимо от числа степеней свободы и характера взаимодействия остальных форм). Если то резонанс на сумме частот не обнаруживается даже при сколь угодно малой диссипации. Вместо него появляется резонанс разностного типа с граничными частотами

Если диссипация отсутствует, то граничные частоты главных комбинационных областей неустойчивости даются приближенными формулами