Общие сведения предварительные замечания

Алгоритм метода обобщенных определителей Хилла. Для системы с степенями свободы при сохранении в рядах Фурье (54) и (55) первых гармоник соответственно размерность матрицы равна . В связи с высокой размерностью могут встретиться затруднения при проверке условий устойчивости. Если система обладает полной и достаточно сильной диссипацией, то следует отдать предпочтение критерию Зубова. Если диссипация отсутствует или она не является полной, то в области устойчивости все или часть характеристических показателей — чисто мнимые. Критерии Рауса — Гурвица и Зубова в этих случаях непригодны. Устойчивость проверяют непосредственным вычислением комплексных корней уравнения (56).
5. СВОЙСТВА ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ВОЗБУЖДАЕМЫХ СИСТЕМ
Относительная ширина областей неустойнивости. Пусть система с несколькими степенями свободы находится под действием гармонического параметрического возбуждения. Если все элементы матрицы в уравнении (46) имеют одинаковый порядок, то относительная ширина всех главных областей неустойчивости, измеряемая по отношениям частот, имеет одинаковый порядок . При слабой связи между обобщенными координатами области комбинационных резонансов могут оказаться уже областей простых резонансов. Напротив, если диагональные элементы матрицы в главных осях матрицы равны нулю или малы по модулю по сравнению с недиагональными элементами, то области простых резонансов будут уже областей комбинационных резонансов того же порядка. Например, при формула (50) указывает на слияние границ основного резонанса (в действительности ширина этой области может иметь порядок или менее).
Влияние диссипации на области неустойчивости. Как и в системах с одной степенью свободы, диссипация приводит к невозможности возникновения неустойчивости при малых глубинах модуляции, причем это проявляется в большей степени на побочных резонансах, чем на главных. В системах с несколькими степенями свободы возможен дестабилизирующий эффект диссипации. Он состоит в расширении малых комбинационных областей при введении в систему без диссипации диссипативных сил с существенно различными парциальными коэффициентами. Этот эффект виден непосредственно из формулы (51). В самом деле, коэффициент перед радикалом может быть сколь угодно большим. Для этого достаточно принять, например, что .
На рис. 7 показаны результаты вычислений по этой формуле при и различных значениях . Еще один эффект диссипации — образование конечных (ограниченных) областей неустойчивости в системах с полигармоническим и кусочно-постоянным возбуждением. На рис. 8 видно, как изменяются области неустойчивости при введении в систему Мейсснера диссипации с коэффициентом

Влияние структуры коэффициентов возбуждения. Все приводимые ниже результаты, полученные численным методом матриц перехода, относятся к системе с двумя степенями свободы типа (46). При этом

На рис. 9 показаны области неустойчивости для случая
Первые два графика относятся к системам, которые при становятся каноническими. На рис. 9, a видны как простые, так и комбинационные резонансы нескольких порядков. Например, клин у соответствует главному комбинационному резонансу Рис. 9, б построен для системы, обобщенные координаты которой связаны лишь через недиагональные элементы матрицы . Простые резонансы вблизи на диаграмме не обнаруживаются, а доминируют области неустойчивости, отвечающие комбинационным резонансам на сумме частот.
Рис. 9, в и г соответствуют существенно неканоническим системам. При малых значениях коэффициента возбуждения граница области устойчивости оказывается весьма изрезанной На рис. 9, в выделяются клинья области неустойчивости, соответствующие главным простым резонансам а также главному комбинационному резонансу разностного типа . На рис. 9, г,

который построен для системы с антисимметричной матрицей коэффициентов возбуждения, ясно видны клинья, отвечающие простым резонансам второго порядка а также главному комбинационному резонансу при Увеличение диссипации во всех случаях приводит к смещению областей неустойчивости в сторону больших а также к сглаживанию границ этих областей. При очень малых численные методы становятся неэффективными.
Параметрические резонансы в системах, находящихся под действием позиционных неконсервативных сил. Если система нагружена постоянными позиционными неконсервативными силами, то матрица в уравнении (46) не будет симметричной. Влияние этих сил учтем, полагая, например, что из несимметричных матриц типа (68), коэффициент, характеризующий величину неконсервативных позиционных сил. Устойчивость системы

при исследуется методами гл. V. При решение уравнения (69) устойчиво, пока критическое значение параметра

Из рис. 10 видно, как последовательное возрастание параметра влияет на устойчивость системы в присутствии параметрических сил Вычисления проделаны для случая, когда функция имеет вид (30) При области неустойчивости весьма похожи на изображенные на рис. 9, г. С ростом появляются аналоги главных простых резонансов однако соответствующая область неустойчивости имеет необычную серповидную форму (рис. 10, а)При дальнейшем увеличении области неустойчивости приближаются к оси частот, а при

все точки на этой оси принадлежат области неустойчивости (рис 10, в) Но при этом обнаруживаются изолированные области устойчивости, которые соответствуют некоторым достаточно большим значениям коэффициента возбуждения