Общее определение оператора

Мисол 1. Кичик ҳақиқий λ параметрли интеграл тенгламани караймиз:
(1)
Бу турдаги тенглама А( )х = у( ) – операторли тенглама С[-π; π], бу ерда

А( ) дани 0 нуктада аналитик эканлигини кўрсатамиз, яъни кўринишдаги қаторига ёйилади . А( ) функцияни Тейлор: қаторига ёямиз.
к – тартибли ҳосиласини топамиз:

Функцияни 0 нуқта атрофида Тейлор қаторига ёямиз:

Шундай қилиб, функция аналитик бўлади, демак = 0 да узлуксиз, бундан тенглама ягона ечимга эга эканлиги келиб чикади.
Операторли коэффициентлар қуйидаги кўринишга эга:
; (2)
I. (4) системанинг А₀x₀ = y тенгламасидан бошлаймиз, бу ерда y₀=y, y_к=0, к ≥ 1.


Алмаштирамиз, , шунинг учун
, (4)
Бу ерда
,
(4) тенгламада А коэффициентни топиш учун уни иккала томонини cost га кўпайтириб, t бўйича –π дан π гача интеграллаймиз:
,
Интегралларни ҳисоблаймиз:
, ,
Энди тенгламанга кўйсақ: . Бундан:
. (5)
(4) тенгламада В коэффициентни топиш учун уни иккала томонини sint га кўпайтириб, t бўйича –π дан π гача интеграллаймиз:
.
Мос келган интегралларни ҳисоблаб :
, , , ўрнига кўйиб В ни топсақ:
67
. (6)
Топилган (5) ва (6) коэффицентларни (4) тенглама кўямиз:

Ва формула бўйича алмаштирамиз:

II. Энди x₁(t) топамиз, бунинг учун (4) системанинг А₀x₁+А₁x₀ = y₁ тенгламасини ечамиз. y₁=0 тенг бўлганлик учун биз А₀x₁= – А₁x₀ кўринишдаги тенгламани ечамиз.


белгилаш киритамиз, x₀(s) маълум бўлганлик учун φ(t) ни ҳисоблаймиз:

Аввалги ҳолга ўхшаб алмаштирамиз , шунинг учун
. (7)
Бу ерда , .
(7) тенгламада А коэффициентни топиш учун уни иккала томонини cos t га кўпайтириб, t бўйича –π дан π гача интеграллаймиз:

Хисоблаб: , , ,
натижада .
(7) тенгламада В коэффициентни топиш учун уни иккала томонини sin t га купайтириб, t бўйича –π дан π гача интеграллаймиз:

x₁(t) функцияни тузамиз, А ва В коэффицентларни тенгламага кўйиб косинуснинг айирмаси формуласи бўйича йиғсак:
.
Шу усулда тенгламанинг қолган ечимларини ҳам берилган аниқликда топишимиз мумкин.