Общее определение оператора

Теорема 14. Агар А(λ) –[0, 1] да узлуксиз оператор-функция (хар бир ), ва А(0)оператор узлуксиз тескарланувчи.Агар А(λ)учун I-шарт бажарилса,унда, А(I) узлуксиз тескариланувчи, ва .
14 теоремага эслатма. Агар I шарт бажарилса ва оператор узликсиз тескариланувчи бўлса
. (2)
Хақиқатдан хам , а , т.е. . унда I дан ёки , б (2) тенгликни тўғрилигини (2) кўрсатади.
14 теоремани исботини бўлган холда кўрамиз. Теоремани шартига қўра . 14 эслатмага кўра . Қуйдаги баҳога эгамиз:
.
Айтайлик , бу ерда . [0, δ] да , ва, натижада, 9 теоремага асосан А(λ) ҳар қандай узликсиз тескарланувчи. Агар , бўлса теорема исботланди.
Айтайлик δ < 1. А(δ) олайлик. Эслатмага асосан п.14.1 . Бизнинг мулохазаларимизни λ>δ да такрорлаб, қуйидаги баҳога эга бўламиз.
,
Агар , бундан А(λ) узлуксиз тезкариланувчи ҳар қандай . Агар бўлса теорема исботланди.
Агар 2δ < 1, унда ва мулохазаларни такрорлаш мумкин. Чекли қадамлардан сўнг биз λ=1 нуқтага етиб келамиз,ва демақ, А(1) узликсиз тескариланувчи.
Юқорида қурилган L(X,Y) кесманинг тадбиқларда қўлай эмас. Умумий ҳол қўйидаги элементар таклифга асосланган.
Лемма. Айтайлик М – қандайдир бош бўлмаган [0,1] тўплами бўлсин, бир пайтида очик ва ёпиқ, демак М=[0, 1].
Эслатма 1. Очиклик шарти М [0,1] да кўйидагича тушунилади: ихтиёрий мавжудки δ > 0, унда .
Эслатма. Параметрли тенгламани караймиз:
А(λ)х = у, λ [0, 1]. (1*)
Айтайлик шу тенгламанинг мумкин бўлган ечимлари учун иҳтиёрий λ [0, 1] баҳо тўғри
, (2*)
Бу ерда с – иҳтиёрий ўзгармас, х, у ва λ боғлик эмас. Бундай турдаги баҳолаш (1*) тенгламанинг ечимини априор баҳолаш бўлади. Кўриниб турибдики (2*), априор баҳолаш (1) шартни бошкача ёзуви бўлади: .

III БОБ. ТАТБИҚЛАР