Общее определение оператора

Теорема 4. А оператор D (А)ни R (А)га бир қийматли ўтказади агар N(A)= , (яъни А нинг ноллар тўплами фақат битта нол элементдан иборат бўлса)
Теорема 5. А^-1 оператор R(A) да мавжуд ва чегараланган бўлади агар қандайдир ўзгармас m>0 ва ихтиёрий x  D(A) қуйидаги тенгсизлик ўринли бўлса
. (1)
Қуйидаги мухим тушунчани киритайлик.
А: X → Y чизиқли оператор узлуксиз тескарланувчи бўлади агар, R(A)=Y, оператор тескариланувчи ва A^-1  L(Y, X), (яъни чегараланган).
Теорема 6. А оператор узлуксиз тескариланувчи бўлади агар R(A)=Y ва қандайдир ўзгармас m>0 ва хамма (1) тенгсизлик ўринли бўлса.
Бутун тўпламда аниқланган ва чегараланган A  L(X,Y) оператор учун тескари оператор хақида Банах теоремаси мавжуд.
Теорема 7. Агар А – чегараланган чизиқли оператор, X- Банах фазосини Y-Банах фазосига, ўзаро бир қийматли акслантирса, унда А^-1 тескари оператор чегараланган бўлади.
Бошқача айтганда агар А  L(X,Y), бу ерда X ва Y банах фазолари, R(A)=Y ва А тескарланувчи, унда А узлуксиз тескариланувчи.
Узлуксиз тескариланувчи оператор тушунчасига
Ax = y (2)
чизиқли тенгламани ечилиши нуқтаи назаридан қарайлик.
Агар А узлуксиз тескариланувчи бўлса, унда тенглама ягона x = A^-1y ечимга эга ихтиёрий у ўнг томони учун. Агар шунда (шу тенгламанинг ўнг томони бўлгандаги ечими), унда . Бу y ўнг томонни кичик ўзгаришига ечимнинг кичик ўзгариши мос келади яъни (2) масалани коррект ечиш мумкин.
Айтайлик А  L(X,Y). Оператор U  L(X,Y)ни А га ўнг тескариланувчи агар AU = I_y. Оператор V  L(X,Y)ни А га чап тескариланувчи деймиз, агар VA = I_x.
Бу ерда I_y (I_x) деб Y (X) бирлик оператор белгиланган. Пастда ўнг тескари оператор А_r^–1, чап тескари – А_L^–1.белгиланган.
Лемма 1. Агар А га ўнг тескари А_r^–1 мавжуд бўлса, унда (2)тенглама x = А_r^–1 y ечимга эга.
Агар А га чап тескари А_r^–1 мавжуд бўлса, унда (2)тенглама биттадан ортиқ ечимга эга эмас.
Исбот. А(А_r^–1 y) = (А А_r^–1)y = y, яъни x = А_r^–1 y (2)ни айниятга айлантиради демак ечим бўлади.
Айтайлик А_L^–1.мавжуд бўлсин. N(A) қараймиз. Айтайлик x  N(A), унда Аx = 0. Шу тенгликка А_L^–1,операторни қўллайлик,унда А_L^–1Аx = 0, бундан x = 0. Шундай қилиб x  N(A) 0 га тенг. Демак, N(A) = {0} ва 4 чи теоремага асосан А ўзаро бир қийматли, яъни (2) тенглама учун ягоналик теоремаси ўринли. Шуни исботлаш керак эди.
Айтайлик X – банах фазо. L(X) Банах фазосини қарайлик – чизиқли, чегараланган ва бутун операторлар тўпламида берилган. Айтайлик I – бирлик оператор L(X)да. I узлуксиз тескариланувчи эканлиги қўриниб турибди. I билан бирга хамма операторлар узлуксиз тескариланувчи - бирлик шар L(X)да,яъни хамма А лар учун тенгсизлик ўринлилиги қуйида исботланади.
Қисқалик учун C = I – A.Пастда биз Вейерштрасс аломатига асосанланамиз:айтайлик X – банах фазоси, унда хар қандай X даги абсолют яқинлашувчи қатор яқинлашади.