Общее определение оператора

Таъриф: функция(хақиқий еки комплекс қийматлари) аниқланиш соҳаси билан К синфга тегишли агар
Хар бир чекли интервалда чекли сон узилиш нуқталарга эга бўлса; интеграл ихтиерий учун чекли.
Энди торнинг иккала охири ихтиёрий харакатлангандаги торнинг тебранишини ўрганамиз. Бу харакат ва функциялар билан берилган. Бу эса
(1.2.8)
шартларга тўғри келади агар торнинг узунлиги га тенг бўлса. Бундан ташқари t=0 моментда тор ўқи бўйича тортилган ва тинч холатда. Биз яна ўша
, (1.2.9)
тенгламани ечамиз фақат (1.2.8) чегаравий шартлар умумийроқ (1.2.4) формуладаги ва ўзгармасларни (1.2.8) бажариладиган қилиб танлаш қийин эмас. Бунинг учун тенгламалар системасини ечиш керак
(1.2.10)
Шу усул билан қуйидагиларни топамиз
,
, (1.2.11)
бундан
(1.2.12)
Хусусий холда бўлганда,бу формула соддалашади ва (1.2.6) келтирилади.
Физик маъносига эътибор бермасак (1.2.12) функция (1.2.9) тенгламанинг хар доим ечими бўлади ва бу и операторлани танлашимизга боғлиқ эмас.
Агар и - функциялар К синфга тегишли бўлса, ва коэффициентлар, (1.2.11) формулалар билан берилган бўлиб, К синфга тегишли.
Агар и - функциялар С синфга тегишли бўлса ва t=0 нолга тенг бўлса, (1.2.11) коэффициентлар хаму С синфга тегишли t=0 нуқтада нолга тенг.
Хар қандай , операторли функция тенгламани қаноатлантирса, (1.2.4) кўринишда бўлиши эканлигини исботлаймиз . Хақиқатдан хам, бу функция нуқтада қандайдир бошланғич шартларни қаноатлантирсин
, .
(1.2.4) формулада и коэффициентларни шундай, танлаш мумкинки
,
Яъни, детерминант

нолдан фарқли. ва кийматларини шундай танласак кўрилаётган интервалнинг хамма хақиқий ри учун ўринли бўлади .
(1.2.4) ифодани тенгламанинг умумий ечими деймиз; у ихтиёрий иккита ва ўзгармасларга эга.
Энди шартлар ёки (1.2.8) умумийроқ шартлар (1.2.1) тенгламанинг ечимини бир қийматли аниқлайди . Хақиқатдан хам, ечим (1.2.4) кўринишда бўлиши керак; бошқа томондан (1.2.8) шартларга асосан, (1.2.10) тенгликлар ўринли, улар ва ўзгармасларни бир қийматли аниқлайди, яъни

Шундай қилиб ягоналик исботланди.
Хусусан, бундан : агар (1.2.1) хусусий хосилали тенгламани қаноатлантирувчи функция мавжуд бўлса, (1.2.2) ва (1.2.3) шартларни, еки, умумийроқ (1.2.8) шартларни ва
,
қаноатлантирса у ягона бўлади.
Хусусий хосилали тенгламалар назариясидан маълумки ечим Даламберга маълум бўлган. Оператор методнинг фойдаси шундаки ва функциялар дифференциалланувчи бўлиши шартэмас. Аксинча, хусусий хосилали тенгламалар назариясидан маълумки функцияни ечим деб қарашимиз мумкин агар ва функциялар икки марта дифференциалланувчи бўлса, лекин татбиқлар учун етарли эмас. Бундан ташқари оператор хисоб ечимни ягоналигини хам кўрсатиб беради.