Общее определение оператора

Мисол 2. Параметр бўйича давом эттириш методини дифференциал тенглама учун кўйилган чегаравий масалани ечилишини баҳолаш учун қўллаймиз, шундан кейин кичик параметр методи ёрдамида ечамиз
–x'' + b(t)x' +c(t)x = y(t), 0< t <1, (1)
x(0) = x(1) = 0 (2)
Бу ерда c(t) [0, 1] да ўзликсиз, b(t) [0, 1] да ўзликсиз дифференциалланувчи. Фараз қилайлик [0, 1] c(t) – b(t)'/2 ≥ α > –8/π (*).
Параметр бўйича давом эттириш метод билан иҳтиёрий y Y = С [0, 1] ўнг томони учун масалани ягона ечими мавжудлиги x  X = С² [0, 1] – икки марта ўзликсиз дифференциалланувчи x(t) функциялар, (2) чегаравий шартларни ва норма , где .
(1) – (2) масалани операторни кўриниши ёзамиз: Вx = y
Бу ерда X да ҳамма жойида аниқланган ва қийматлари Y га тегишли. А оператор сифатида L(X, Y) қабул қиламиз.
А ва В операторларни кесма билан бирлаштирамиз
, λ  [0, 1].
Энди чегаравий масалани ечиш учун априор баҳона кўйиш керак
–x'' + λb(t)x' + λc(t)x = y(t), 0< t <1, (3)
x(0) = x(1) = 0 (4)
Бундай баҳо кўйилгандан кейин 8.1. теоремадан (3) – (4) маасланинг бир қийматли ечилиши мумкин.
(3) тенгламани x(t) га купайтириб ҳосил бўлганлик тенгликни t бўйича 0 дан 1 гача интеграллаймиз:
.
Чегаравий шартларни хисобга олсақ:


Ҳосил бўлган интегралларни кўйиб ва λ бўйича бирлаштирамиз:
(5)
Бу тенгликдаги учта қўшилувчини баҳолаймиз.
Исботлаймиз, . (6)
Белгилаб қўямизки, , ва демақ Коши – Буняковский тенг сизлигидан :
.
Худда шундай:
.
Бу тенгсизликларни кўпайтирамиз:
. (6*)
Бундан, , бўлганлик учун
.
Кейин (7)
– бу (*) фаразимиздан келиб чиқади.
(5) тенгликнинг оҳирги интегралини скаляр квадратдан фойдаланиб баҳолаш мумкин:
, где .
Иҳтиёрий ε > 0
. (8)
Ҳосил бўлган (6), (7), (8) тенгсизликларни (5) тенгликга қўйсак :
,
ε > 0 етарли кичик деб
.
танлаб
, где .
Яна (5) тенгликга кайтиб кўйдаги баҳона оламиз:
, где , а .
Энди (6*) баҳо ёрдамида эга бўламиз ва демақ ҳисобга олиб
(9)
(3) тенгламадан ва учун баҳолалар олишимиз мумкин:
. (10)
Бу ерда , ва лар оркали баҳоланади. Ҳақикатдан ҳам, x(0) = x(1) = 0. Ролль теоремасидан (0, 1) да шундай ξ нуқта топиладики унда x'(ξ) = 0. Энди (3) тенгламани кўйидагича ёзамиз
,
(бунда ҳосила олиб ишониш мумкин:

) қискартириб
ξ дан θ гача интегралласак
.
Бундан кўйдаги баҳога эга бўламиз
, (11)
Бу ерда .
Олинган натижаларни (10) га кўямиз :
. (12)
Энди (9), (11) ва (12) кўйдаги априор баҳони беради:

(с₄ ўзгармасни (9), (11), (12) тенг сизларни қўшиб ва алмаштиришлар бажариб ҳисоблаш мумкин).
Шундай килиб масалани ечиш мумкинлиги исботланди. Энди буни кичик оператор методи билан ечамиз.
Операторли тенгламани қарайлик:
А(λ)x = y(λ),
Бу ерда .

1. 
   А₀x₀ = y тенгламадан бошлаймиз (бу ерда А₀ – λ данинг нолинчи даражаси олдидаги коэффиценти) системанинг (4) §7, бунда y₀ = y, y_к = 0, к ≥ 1.
   

, бунда с₁ шундай танланадики x₀(1) = 0 шарт бажарилиши керак.
II. x₁(t) ни топамиз, бунинг учун А₀x₁+А₁x₀ = y₁ тенгламани ечиш керак. y₁=0 бўлганлик учун А₀x₁= – А₁x₀ тенгламани ечамиз.
дан кўйдаги тенглама келиб чиқади :

.
Аналогия бўйича c₂ ва c₃ ларни шундай танлаймизки x₀(1) = 0 шарт бажарилиши керак.
Шундай килиб бизнинг чегаравий масала ечими кўйдаги кўринишга эга
,
Топилган ечимларни кўйсак

ёки

ХУЛОСА

Маълумки табиатда содир бўлаётган жараёнларнинг математик моделларини қуришда унинг айрим параметрлари абстраклаштирилади. Кўпинча параметрларнинг жараёнга таъсири сезиларсиз деб, мухум ҳисисобган параметрлар ажратиб олинади ва шу параметрлар асосида физикавий жараёнларнинг математик модели дифференциал ёки функционал тенгламалар орқали ифодаланади. Физикавий жараёнларнинг математик моделлаштиришдан олинган натижалар тақрибий натижалар ёрдамида ҳисобланади.
Математик физика, эластиклик назарияси, ғовак мухитларда суюқлик ва газларнинг фильтрланиши хамда гидродинамиканинг кўп масалалари реал физик жараёнларни ифодалагани учун бундай масалалар хусусий хосилали дифференциал тенгламалар орқали ифодаланади. Бу эса ўз навбатида чизиқли ёки чизиқсиз оператор Аx=y кўринишдаги тенгламани тадбиқ этиш масаласига келтирилади.
Бундай тенгламаларни ечиш хозирги кунда функционал анализ, дифференциал тенгламалар, хисоблаш усуллари, математик дастурлашнинг асосий йўналишларидан бири бўлиб келмоқда. Шунинг учун магистрлик диссертациясининг мавзуси долзарб мавзулардан бири хисобланади.
Магистрлик диссертацияси кириш, учта боб, хулоса, фойдаланилган адабиётлар хамда мавзу бўйича интернет маълумотларидан иборат. Диссертациянинг биринчи боби содда оператор тенгламаларга бағишланган бўлиб, унда операториссертациянинг биринчи боби содда оператор тенгламаларга бағишланган бўлиб, унда операториссертациянинг биринчи боби содда оператор тенгламаларга бағишланган бўлиб, унда оператор, дифференциал оператор тушунчалари, оддий дифференциал тенгламаларни оператор усулда ечиш каби мавзулар ёритилган. Магистрлик диссертациясининг иккинчи боби умумий оператор тенгламаларга бағишланган. Бу бобда чизиқли операторлар, чизиқли операторнинг нормаси, тескари оператор тушунчаси, оператор тенгламаларни ечиш усуллари баён қилинган. Шу билан бирга ушбу бобда кичик параметрлар усули ва параметр бўйича давом эттириш усуллари ёритилган. Учинчи бобда эса олдинги бобларда келтирилган оператор тенгламаларни ечиш усусларига оид мисол ва масалалар келтирилган.
Диссертацияда ўрганилган усуллар теоремалар шаклида ифодаланган хамда унда қаралган мисол ва масалалар тўлиқ исбот қилинган. Диссертацияда олинган натижалардан педагогика институтларида таълим йўналишларида тахсил олаётган талабалар, магистрлар хамда профессор-ўқитувчилар учун дифференциал ва оператор тенгламаларни ечиш бўйича қўлланма сифатида фойдаланишлари мумкин.