Общее определение оператора

8-машқ. Тенгликларни текширинг:
1) 2)
3) 4)
5)
(1.1.5) формулага 1ни ни ўрнига қўйсак, 1{f(t)}={f(t)} ўринли бўлади.
Умумий холда
1с=с, (1.1.6)
тенглик хар доим ўринли, бу ерда с- ихтиёрий оператор.
Хақиқатдан хам c=a/b десак, бу ерда a ва - C синфга тегишли функциялар ва 1=l/l. Тенглик ва операторларни кўрайтириш таърифларига асосан

яъни (1.1.6) тенглик ўринли.
0 сони учун умумий формулалар ўринли
0c=0. c+0=c (1.1.7)
Хақиқатдан хам c=a/b десак, бу ерда a ва - C синфга тегишли функциялар ва 0={0}/l, унда


Белгилаб қўйиш лозимки,0l={0} тенгликдан ва (1.1.7) формуланинг биринчисидан
{0}=0.
Демак {0} функцияни 0 сони ўхшатиш керак . Бу юқоридаги қоидан ажратма унда биз функция ва сонларни фарқлаш керак деганмиз.{0}- ягона функция, у йиғинди ва кўпайтмага нисбатан 0 сонини хоссаларига эга.Шунинг учун хамма формулаларда 0 сони билан алмаштириш мумкин еки тескариси.

1.1.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЛАШ ОПЕРАТОРИ

Операторларни бир бирига бўлиш мумкин.Агар, масалан g=a/b ва h=c/d бўлса,унда

g/h касрнинг сурати ва махражи ихтиёрий операторлар функция бўлиши шарт эмас.
Хусусан, 1/h оператор h операторга тескари дейилади. Агар h функция бўлса, унда 1/h тескари элементи функция бўлмайди . Хақиқатдан хам,агар h ва 1/h функция бўлганда, уларнинг кўпайтмаси хам функция бўларди, лекин 1 сонли оператор.
Оператор хисобда l={1} интеграл операторга тескари бўлган оператор фундаментал рол ўйнайди. Биз қуйидагича ёзамиз

таърифга асосан ls=sl=1.
Қуйидаги мухим теоремани исботлаймиз:
Теорема. Агар a={a(t)} хосилага эга бўлса интервалда узлуксиз бўлган, унда
(1.1.8)
бунда а (0) – а функциянинг t=0 нуқтадаги қиймати.
Хақиқатдан хам,

яъни

Тенгликнинг иккала томонини s га кўпайтириб (1.1.8) хосил қиламиз.
Агар t=0 нуқтада а функциянинг қиймати нолга тенг бўлса, унда (1.1.8) формула қуйидаги кўринишга келади

Шундай қилиб, функцияни s операторга кўпайтириш уни дифференциаллаш кераклигини билдиради. Шу сабаб s операторни дифференциаллаш оператори деймиз. Эсда тутиш керакки умумий холда, sга кўпайтириш, бу уни дифференциаллаш ва бошланғич қийматини қўшиш кераклигини билдиради. Натижада шундай оператор хосил бўладики, агар а функциянинг бошланғич қиймати нолга тенг бўлса, бу оператор шу функцияга келтирилади.
Мисоллар.


Дифференциаллаш операторига фақат дифференциалланувчи функцияларни эмас, бошқаларини кўпайтириш хам мумкин. sa кўпайтма хар доим маънога эга, а функция дифференциалланувчи бўладими ёки йўқми ёки ихтиерий оператор бўладими, барча холлар учун ўринли. Агар s кўпайтиришни дифференциаллашни умумлашмаси деб қарасак, унда операторлар соҳасида узлуксиз функция дифференциалланувчи бўлади.
Кўриниб турибдики оддий дифференциаллаш интеграллаш билан ўрин алмаштириб бўлмайди ( 0дан до t гача оралиғида). Агар биз биринчи {cost} функцияни дифференциалласак, кейин интеграласак {cost-1} келиб чиқади; бу амалларни тескарисига бажарсак {cost} келиб чиқади. Лекин дифференциаллаш ва интеграллаш операторлари ўрин алмашинувчи бўлсин деган талаб sl=ls, оператор хисобда қулайлик учун жуда мухим. Ўрин алмаштиришлик қуйидаги таърифга асосан ўринли бўлади:
Агар функция Агар a={a(t)} функция иккинчи хосилага эга бўлса ва интервалда узлуксиз бўлса унда (1.1.8) тенгликнинг иккала томонини s кўпайтириб,

ва яъни (1.1.8) формулани қўллаб

хосил қиламиз.
Қуйидаги умумлашма ўринли:
Агар {a(t)} функция п-чи хосилага эга бўлса интервалда узлуксиз бўлган,ундан

Дифференциал тенгламаларни ечишда қўллаш учун уни қуйидагича ёзиш мумкин

9-машқ. Тенгликни текширинг:

Татбиқларда қуйидаги операторлар муҳим рол ўйнайди
(1.1.9)
бу ерда - ихтиёрий сонлар. Бу полиномлар устидаги амаллар худди элементар алгебрадагига ўхшаб бажарилади.

Агар s оператордан иккита полиноми тенг бўлса, унда уларнинг коэффициентлари хам тенг бўлади, яъни
(1.1.10)
(1.1.11)
Хақиқатдан хам (1.1.10) иккала томонини га кўпайтирсак

яъни ( ).
Бундан оддий полиномлар учун маълум бўлган теоремадан (1.1.11) тенгликлар келиб чиқади.
10-машқ. Формулани исботланг.

2. Агар бўлса қуйидаги тенглик ўринли эканнини текширинг.

(1.1.8) формулани функцияга қўлласак,
Бундан
(1.1.12)
Ўрамани таърифига асосан




Умуман,
(1.1.13)
Бу формула формулани умумлашмаси бўлиб, охиргига келтирилади. Эйлер формулаларига асосан

Бундан,

(1.1.12) дан,

Бундан,қуйидаги формулани келтириб чиқардик:
(1.1.14)
операторнинг даражаларини кетма-кет ўрама ташкил қилиб хисоблаш мумкин :


(1.1.14) формулаларни хусусий холи

11-машқ. Формулаларни исботланг:
1) 2)
Алгебрадан маълумки
(1.1.15)
бунда и - хақиқий сонлар,қуйидаги типлардаги элементар касрларга ажрайди:

ва - хақиқий сонлар, аp- натурал сон. Аввалги параграфнинг методидан фойдаланиб биринчи ва иккинчи типдаги касрларни кўрсаткичли ва тригонометрик функциялар орқали ифодалаш мумкин. Учунчи касрда s кўпайтувчи мавжуд улар хам (1.1.8) формулалар ёрдамида кўрсаткичли ва тригонометрик функциялар орқали ифодалаш мумкин. Масалан, тенгликда

Қавсдаги ифода t=0 да нолга тенг, унинг хосиласи эса

демак

Шундай қилиб, хар бир (1.1.15) рационал ифода элементар касрларга ёйилиб кўрсаткичли ва тригонометрик функциялар орқали ифодаланилади. Элементар касрларга ёйганда интеграл хисобдагига ўхшаб ноъмалум коэффициентлар усулини қўллаш қулай.
Мисоллар.
1.Хисобланг
Махраж иккита чизиқли кўпайтувчигатажрайди: s ва s+2. Шунинг учун шундай иккита A ва B,сонлар топиш керакки
.
Иккала томонини s(s+2)га кўпайтирсак
S+1=(A+B)s+2A,
Бу эса фақат агар А+В=1 ва 2А=1, яъни А+В=1/2. Бундан
демак

2.Хисобланг
Шундай А, В ва С, ўзгармасларни топамизки

Иккала томонини кўпайтириб ва бир хил даражалардагиларни тенглаб,
А=1, В=-1, С=3.
Шунинг учун

3.Хисобланг
Элементар касрларга ажратамиз:


Суратдаги коэффициентларни s нинг бир хил даражаларидагини тенглаб,
0=8А+8В, 0=6А+2В+4С+8D,
0=12А+8В+8С, 1=А.
Бу системани ечсак:
А=1, В=-1, С= D=
Шунинг учун


4.Хисобланг
Ечиш.




Коэффицентларни тенгласак,
0=А+В+С, 0=3А+3В-С+G,
2=А-В+D, 3=3А-3В-D+H,
0=3А+3В+С+Е, 0=А+В-С-Е-G,
6=3А-3В+D+F, 5=А-В-D-F-H.
Бундан
A=1, В=-1, H=-3, C=D=E=F=G=0
ва

Агар унда (26.1) s оператор полиноми ва суратининг даражаси махражи даражасидан кичик бўлган касрнинг йиғиндиси қилиб ёзиш мумкин. Шу алмаштиришдан кейин элементар касрларга ёйиш методини қўллаш мумкин.
Мисол.

Қуйидаги теоремани исботлаймиз
Теорема: Агар
(1.1.16)