Общее определение оператора

Теорема: Агар С синфга тегишли f ва g функциялардан бирортаси айнан нолга тенг бўлмаса, у холда уларнинг ўрамаси fg хам айнан нолга тенг эмас.
Агар (1.1.2) тенглик иккита хар хил функциялар учун бажарилганда, яъни бўлса, унда

Тенглик ўринли бўлади ва иккита айнан нолга тенг бўлмаган b и функцияларни ўрамаси нолга тенг бўлади, бу эса Титчмарша теоремасига зид. Шунинг учун (1.1.2) тенглик биттадан ортиқ бўлмаган с функция ўринли бўлади, бу эса a/b символни бир қийматли эканлигини исботлайди.
6-машқ. Тенгликни текширинг:
1)
Шундай бўлиши мумкинки С синфга тегишли берилган функциялар учун a=bc тенгламани қаноатлантирувчи с функция мавжуд эмас. Айтайлик, масалан унда тенглик хеч қандай функция ўринли эмас, чунки акс холда

бўлади, ихтиёрий Лекин бу ўринли эмас. Бундай мисоллардан кўп келтириш мумкин .
Элементар математикада тескари амал бажарилмаслик холати билан тўқнашса бўлади. Арифметикада бутун сонлар тўламида бўлиш хар доим ўринли эмас. Масалан 2 ни 3га бўлиб бўлмайди. Лекин, таъкидлаш лозимки, бўлиш мумкин бўлмаганлиги учун сонларни янги тури –касрлар хосил бўлади. Масалан 2ни 3 га бўлганда янги сон хосил бўлади (бутун эмас) ва уни 2/3 кўринишда ёзамиз. Умуман, агар а бутун сон бошқа b бутун сонга қолдиқсиз бўлинмаса, уларнинг бўлинмасини a/b тенг деб қабул қиламиз. a/b кўринишдаги касрларда, агар а бутун сон бошқа b бутун сонга қолдиқсиз бўлинса, масалан 6/3, у холда касрни бутун сон умумлашмаси деб қабул қилишимиз мумкин. Хар қандай бутун с сонни каср сон деб қараш мумкин (яъни аммо, хар қандай каср бутун сон бўлолмайди.
Худди шундай, ўрамага тескари бўлган амални мумкин эмаслиги янги математик тушунчага олиб келади, яъни оператор тушунчасига.
Шундай қилиб, {1}/{1} каср оператор бўлади (лекин функция бўлмайди). Умуман, агар иккита берилган С синфга тегишли a ва функциялар учун a=bc тенгламани қаноатлантирувчи с функция мавжуд бўлмаса, у холда a/b каср операторни ифодалайди. a/b кўринишдаги операторларни қабул қилиб, бу операторларни функциянинг умумлашмаси деб қараш мумкин. С синфга тегишли хар қандай с функция оператор бўлади (чунки у , бу ерда – класса С синфнинг функцияси), лекин хар қандай оператор функция бўлолмайди. a/b кўринишдаги операторларнинг муҳимлиги улар учун айрим амаллар борлиги аниқланганда
Элементар арифметикада касрлар қуйидаги таърифлар киритилади:
1. , агар ad=bc.
2.
3.
Хар доим b ва d махражлар нолдан фарқли, у холда bd махраж хам нолдан фарқли бўлади.
Бу таърифларни биз a/b кўринишдаги операторлар учун хам қабул киламиз. Ўз ўзидан маълумки 1, 2, 3 муносабатлардаги а, b ва d харфлар бутун сон эмас балки С синфга тегишли функциялар бўлади. b ва d махражларни биз хар доим айнан нолга тенг эмас деб қабул қиламиз, у холда Титчмарш теоремасидан bd махраж хам айнан нолга тенг эмаслиги келиб чиқади.
Операторлар ва элементар арифметикадаги касрлар орасидаги тўлиқ ўхшашлиги борлиги учун операторлар устидаги амаллар каср устидаги амаллар каби бажарилади.
7-машқ.Тенгликни исботланг:

Энди кўринишдаги операторларни қараймиз, бу ерда - ўзгармас ихтиерий функция ( хамма ерда қиймати тенг), буларни символ билан белгилаймиз:

Куйидаги формулаларни осонликча исботлаш мумкин
(1.1.3)
Хақиқатдан хам соддалаштириш учун , деб қабул қилиб қуйидагини хосил қиламиз


турдаги операторларни сонли операторлар деб аталади. Буларни функция-ўзгармас операторлардан фарқлаш керак, булар учун (1.1.3) ўрнига қуйидагига эга бўламиз

Масалан,

(1.1.3) формулаларга асосан, оператор хисобда қавсларни тушуриш мумкин ўрнига деб ёзамиз. Бу соддалаштириш биз учун жуда қулай, шунинг учун (1.3) формулалар қуйидаги кўринишга келади

яъни умуман ортиқча.
(1.3) тенгликлар яна хам радикал нуқтаи назарга асосланиш мумкин эканлигини кўрсатади. Шунинг учун сонли операторлар хисоблашларда оддий сонларга ўхшайди. Яъни, сонли операторларни сонларга ўхшатиш мумкин ва сон деб аташ мумкин. Худди шундай арифметикада махражи бирга тенг бўлган касрлар ва бутун сонлар, мавхум қисми нолга тенг комплекс сонлар ва хақиқий сонлар . Бундай ўхшашлик жуда қулай чунки кейинчалик хар бир тушунчани алохида кўриш шарт эмас, натижада улар хаммаси комплекс сонларга бўйсинади.
Бизнинг холда комплекс сон тушунчаси ўз навбатида оператор тушунчасига боғлиқ. Бизнинг холда комплекс сон тушунчаси оператор тушунчасига бўйсинади. Шундай қилиб, фақат функциянинг умумлашмаси эмас балки комплекс соннинг умулашмаси хам бўлади. Соннинг умумлашмаси хар хил этапларини қуйидагича ифодалаш мумкин:
Бутун сонлар рационал сонлар хақиқий сонлар комплекс сонлар оператор.
Аввал биз қуйидаги ифодани маъносини аниқладик
(1.1.4)
Агар a/b ва c/d операторлар функцияларга келтирилса, (1.1.4) ифода ўрамани билдиради ; агар улар сонга келтирилса унда (1.1.4) оддий кўпайтма бўлади. Шундай қилиб (1.1.4) ифодаланган амал бир пайтда ўраманинг еки оддий кўпайтманинг умумлашмаси бўлади. Умумий холда бу амални қандай термин аташ бизга боғлиқ; амалий мулохазалардан келиб чиқиб кўпайтма терминини қабул қиламиз. Энди биз кўпайтмага боғлиқ бошқа терминлар билан бемалол фойдаланишимиз мумкин, масалан кўпайтувчи,даража,бўлиш,тескри элемент ва ҳ.к. Функцияларнинг ўрамаси терминини функцияларнинг кўпайтмаси термини билан алмаштириш имконияти туғулади.Унда фарқлаш учун оддий кўпайтмани функциянинг қийматларини кўпайтмаси дейиш керак. Лекин биз тушунмовчиликлар хатари бор холларда ўрама номини ишлатамиз.
Оператор термини хам тушунтиришни талаб қилади. Кўрилаётган тушунча фақат функция ва сонларни эмас, балки адабиётда учрайдиган бошқа тушунчаларни ўз ичига қамраб олганлиги учун ишлатилади. Операторли хисобга бўлган аввалги муносабатларда оператор таъсир қилаётган оператор ва функциялар иккита алохида синф ташкил қилади. Хозирги ишимизда иккала турнинг элементларининг роли симметрик бўлади, чунки улар сонларни ўз ичига олган a/b, касрлар синфига тегишли. Шунинг учун сон,функция ва оператор тушунчасини бир хил асосланган холда аввалдан кўрилаётган тўпламни номлаш мумкин. Лекин, оператор хисобнинг урфу-одатларини хисобга олиб,энг мос деб охирги “оператор” терминини хисоблаш мумкин.
Ихтиёрий сон ва ихтиерий фукция-ўзгармас учун қуйидаги формула ўринли эканлигини текшириш мумкин
Хақиқатдан хам,

Тушунтириш учун қуйидаги тенгликларни солиштирамиз

Биринчисида 2 ва 3 сонларни кўпайтмаси 6 тенглиги таъкидланаяпти; иккичисида 2 сон ва функция-ўзгармас {3}нинг кўпайтмаси функция-ўзгармас {6} тенгн; ва нихоят учунчисида {2} ва {3} функцияларни кўпайтмаси {6t} функцияга тенг.
Агар бўлса исботланган формулани хусусий холи бўлади:

яъни хар қандай функция-ўзгармас сон ва l интгераллаш оператори кўпайтмаси кўринишида ёзиш мумкин.
Бу ерда умумий формула ўринли
(1.1.5)
Яъни, f(t ) функциянинг бирор бир сонга кўпайтириш шу фукнциянинг қийматларини шу сонга кўпайтиришга тенг кучлидир.
Хақиқатдан хам

(1.1.5) формула амалий қоидани ифодалайди: сонли кўпайтувчини қавсдан ташқарига чиқариш мумкин.
Йиғинди учун (1.1.5) формулага ўхшаган формула йўқ. сон ва {f(t)} функциянинг йиғиндисиние кўринишда ёзиш мумкин. Бу йиғинди оператор бўлади ва уни фақат каср кўринишда ифодалаш мумкин. Бу турдаги операторлар учун коммутативлик ва дистрибутивлик хоссаларига асосан, қуйидаги формула ўринли