O ’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi buxoro davlat universiteti

2.3. Chiziqli bir jinsli bo’lmagan sistemalar.

Ushbu

sistema berilgan bo’lsin. Bunda kvadrat matritsa va ustun vektor intervalda aniqlangan va uzluksiz. Chiziqli moperator yordamida sistema

ko’rinishda yoziladi.
2.3.1. Teorema
Agar vektor funksiya bir jinsli bo’lmagan tenglamaning biror yechimi bo’lib, vektor funksiya unga mos bir jinsli tenglamaning biror yechimi bo’lsa,u holda shu vektor funksiyalar yig’indisi

bir jinsli bo’lmagan tenglamaning yechimi vbo’ladi.
Isbot. Bevosita ni hisoblaymiz.


ekanini hisobga olsak ,ushbu

ayniyat teoremani isbot qiladi. Teorema isbot bo’ldi.
2.3.2. Teorema (umumiy yechim haqida)
Chiziqli bir jinsli bo’lmagan sistemaning umumiy yechimi uning biror xususiy yechimi bilan mos bir jinsli sistema umumiy yechimining yig’indisidan iborat.
Isbot. Agar bir jinsli sistemaning fundamental matritsasini orqali belgilasak, bir jinsli bo’lmagan sistemaning xususiy yechimini desak,teoremani tasdiqi bo’yicha bir jinsli bo’lmagan sistemaning umumiy yechimi

ko’rinishda yoziladi. 2.3.1-teoremaga ko’ra vektor funksiya tenglamaning yechimi. Endi bu yechim umumiy yechim ekanligini isbotlaymiz!
vektor funksiya tenglamaning dan farqli ixtiyoriy yechimi bo’lsin. U holda yagona o’zgarmas vektor uchun intervalda

ayniyat o’rinli ekaniniko’rsatish mumkin. Haqiqatan, funksiya , funksiya boshlang’ich shartni qanoatlantirsin. Ushbu

vektor tenglamani ko’ramiz. Bundan matritsaga teskari matritsa mavjudligi uchun yagona ni topamiz:

shunday qilib , funksiya uchun

formulaga ega bo’lamiz. Teorema isbot bo’ldi.
2.3.1.Misol sistemani yeching.
Tenglamani bir jinsli hol uchun yechimini topamiz:

Birinchi tenglamadan ni topib, undan ikkinchi tartibli hosila olamiz va ikkita tengliklarni mos ravishda tenglashtiramiz:

Quyidagicha belgilash kiritamiz va birinchi, ikkinchi tartibli hosilalarini olamiz:
, , ,
Tenglamaga etib qo’yamiz: , .
Yechim quyidagicha bo’ladi: ,
,
,
,





Javob: