O ’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi buxoro davlat universiteti

2.3.2. Misol.
sistemani yeching.
Tenglamani bir jinsli hol uchun yechimini topamiz:

Birinchi tenglamadan ni topib, undan ikkinchi tartibli hosila olamiz va ikkita tengliklarni mos ravishda tenglashtiramiz:

Quyidagicha belgilash kiritamiz va birinchi, ikkinchi tartibli hosilalarini olamiz:
, , .
Tenglamaga etib qo’yamiz: , .
Yechim quyidagicha bo’ladi: ,
,
,



Javob:
2.3.3. Misol.
sistemani yeching.
Tenglamani bir jinsli hol uchun yechimini topamiz:
Birinchi tenglamadan ni topib, undan ikkinchi tartibli hosila olamiz va ikkita
tengliklarni mos ravishda tenglashtiramiz:

Quyidagicha belgilash kiritamiz: , , .
Tenglamaga etib qo’yamiz:

Yechim quyidagicha bo’ladi:





Javob:

2.4. Chiziqli o’zgarmas koeffitsientli bir jinsli sistemalar.

tenglamada matritsa o’zgarmas bo’lsin. Bu holda biz ushbu

chiziqli o’zgarmas koeffitsientli bir jinsli vektor –matritsali tenglamaga egamiz. Agar , operatordan foydalansak, tenglamani ushbu

ko’rinishda yozish mumkin. Bunda -birlik matritsa. Ravshanki,

va bu operator ga nisbatan tartibli matritsadan iborat. Uni koordinatalarda yozamiz:

Demak, ni yana

ko’rinishda yozish mumkin. Endi deb belgilaymiz. Shu determinant yordamida tuzilgan tenglama tenglamaning xarakteristik tenglamasi deyiladi.
Chiziqli differensial tenglamalar sistemasining fundamental yechimlar sistemasini quyidagicha izlaymiz.:

son matritsaning xos qiymatlaridan iborat bo’ladi,bunda quyidagicha hollar bo’lishi mumkin.
1) matritsaning xos qiymatlari har xil,u holda har bir xos qiymatga mos keluvchi xos vektorlarni ustun bo’yicha joylashtirsak hosil bo’lgan

2) Agar matritsaning biror ildizi karrali bo’lsa,u holda ildizga mos keluvchi xos vektorlar soni ta bo’lib, ta xos vektorlarga mos xos vektorlar soni topiladi va qolgan tasi

bu yerda , koeffitsient yechimlarni berilgan sistemaga qo’yib,o’xshash hadlarni oldingi koeffitsientlarga ko’paytirib, hosil bo’lgan sistemadan topiladi.
3) komoleks ildizga ega bo’lsin. U holda ildizga mos keluvchi chiziqli, erkli yechimlar

ko’rinishda izlanadi, bu yerda , lar noma’lum koeffitsiyentlar bo’lib, bu koeffitsiyentlarni yuqoridagi sistemani ga etib qo’yish orqali topiladi.