О ‘ zbekiston respublikasi oliy va о ‘ rta maxsus ta ’ lim vazirligi

Yechish
. 
1-qadam.
Birinchi va uchinchi tenglamalarni o’rnini 
almashtiramiz:














4
3
2
2
2
3
2
0
6
2
4
z
y
x
z
y
x
z
y
x
(4.31) 
a) bu sistemaning birinchi tenglamasini –
2
1
ga ko’paytirib ikkinchi 
tenglamasiga qo’shamiz: 
2
0
____
__________
2
3
2
0
3
2









z
y
x
z
y
x
b) (4.31) sistemaning ikkinchi tenglamasini –1 ga ko’paytirib uchinchi 
tenglamasiga qo’shsak
2
____
__________
4
3
2
2
2
3
2











y
z
y
x
z
y
x
hosil bo’ladi.
Shunday qilib Gauss usuliga binoan sistema birgalikda emas, ya‘ni 
yechimga ega emas ekan. 
Agar sistema birgalikda, ammo aniqmas bo’lsa Gauss usulining qandaydir 
qadamida ikkita bir xil tenglamalarga ega bo’lamiz. 
Ya‘ni bu holda tenglamalar soni noma‘lumlar sonidan bittaga kam bo’ladi. 

---

43 
5-misol
. 














.
12
2
3
5
,
3
2
,
6
4
3
z
у
х
z
у
х
z
у
х
sistema Gauss usuli bilan yechilsin. 
Yechish.
Birinchi tenglamadagi 
х
oldidagi koeffitsentni 1 ga keltirish 
maqsadida sistemadagi birinchi va ikkinchi tenglamalarni o’rinlarini almashtirib 
uni 














.
12
2
3
5
,
6
4
3
,
3
2
z
у
х
z
у
х
z
у
х
(4.32) 
ko’rinishda yozamiz.
a) (4.32) sistemaning birinchi tenglamasini –3 ga ko’paytirib sistemaning 
ikkinchi tenglamasiga qo’shamiz: 
3
7
7
.
6
4
3
,
9
3
6
3



























z
y
z
y
x
z
у
х
b) (4.32) sistemaning birinchi tenglamasini –5 ga ko’paytirib uchinchi 
tenglamaga qo’shamiz: 
3
7
7
.
12
2
3
5
,
15
5
10
5



























z
y
z
y
x
z
у
х
 
Shunday qilib
















.
3
7
7
,
3
7
7
,
3
2
z
у
z
х
z
у
х
sistemaga ega bo’lamiz. Bu sistema uch noma‘lumli ikkita tenglamalar sistemasi 










.
3
7
7
,
3
2
z
х
z
у
х
ga teng kuchli. Oxirgi sistema esa cheksiz ko’p yechimlarga ega. 
4.2.3. Chiziqli tenglamalar sistemasini tekshirish Kroneker-Kapelli 
teoremasi
. 
Tenglamalari soni noma‘lumlari soniga teng chiziqli tenglamalar 
sistemasini Kramer hamda Gauss usullari yordamida tekshirish(yechish)ni 
ko’rdik. 
Endi tenglamalari soni noma‘lumlari sonidan farqli, ya‘ni 
n
ta noma‘lumli 
m
ta chiziqli tenglamalar sistemasi

---

44 



















.
...
...
..........
..........
..........
..........
,
...
,
...
2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11
m
n
mn
m
m
n
n
n
n
b
х
a
х
а
х
а
b
х
а
х
а
х
а
b
х
а
х
а
х
а
(4.33) 
ni qaraymiz. Bunda 
ij
a
-sistemaning koeffitsientlari, 
i
x
-noma‘lumlar, 
i
b
-ozod 
hadlar deyiladi. 
i
1dan 
m


m
i
,
1

gacha, 
j
1 dan n


n
j
,
1

gacha barcha natural 
qiymatlarni qabul qiladi. 
ij
a
, 
i
b
- ma‘lum sonlar.
Shu sistema qachon birgalikda (kamida bitta yechimga ega) bo’ladi degan 
savolga javob izlaymiz. Javobni matritsa rangi tushunchasiga asoslanib beriladi. 
Sistemaning koeffitsientlaridan tuzilgan















mn
m
m
n
n
a
а
а
а
а
а
а
a
а
A
...
.......
..........
..........
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
matritsani hamda
A
matritsaga sistemaning ozod hadlari ustunlarini birlashtirish 
natijasida hosil bo’ladigan 















m
nn
n
n
n
n
b
a
а
а
b
а
а
а
b
а
a
а
B
...
..........
..........
..........
...
...
2
1
2
2
22
21
1
1
12
11
matritsani qaraymiz. 
А
matritsa 
sistemaning matritsasi
, 
B
esa 
kengaytirilgan 
matritsa 
deb ataladi. 
B
A
r
r

ekanligi ravshan. 
(4.33) tenglamalar sistemasi uchun quyidagi teoremalarni isbotsiz 
keltiramiz 
4.2-teorema
. (Kroneker-Kapelli). (4.33) chiziqli tenglamalar sistemasi 
birgalikda bo’lishi uchun sistemaning matritsasi 
A
bilan kengaytirilgan 
B
matritsaning ranglari teng bo’lishi zarur va yetarli. 
Xulosa
. (4.33) sistemaning 
matritsasi 
A
va 
B
kengaytirilgan 
matritsalarning ranglari noma‘lumlar soniga teng, ya‘ni 
n
r
r
B
A


bo’lsa, u holda 
(4.33) sistema yagona yechimga, agar bu matritsalarning ranglari o’zaro teng 
bo’lib, lekin noma‘lumlar sonidan kichik, ya‘ni 
n
r
r
B
A


bo’lsa, u holda (4.33) 
sistema cheksiz ko’p yechimgalarga bo’lar ekan. 
0
...,
,
0
,
0
2
1



n
b
b
b
bo’lganda (4.33) sistema 
bir jinsli 
sistema deb 
ataladi. Bir jinsli sistema uchun 
А

B
bo’lgani uchun 
B
A
r
r

bo’ladi va u doimo 
birgalikda. Xulosaga binoan 
n
r
A

bo’lganda bir jinsli sistema yagona 
0
,
,
,
,
0
,
0
2
1



n
х
х
х
ya‘ni nol yechimga ega. 
4.2-teoremaga asoslanib bir jinsli chiziqli tenglamalar uchun qutidagi 
teoremaga ega bo’lamiz. 

---

45 
4.3-teorema
. Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi nolmas yechimlarga 
ega bo’lishi uchun sistemaning matritsasi 
A
ning rangi 
A
r
noma‘lumlar soni 
n
dan 
kichik bo’lishi zarur va yetarlidir. 
Natija
. Agar bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining tenglamalari soni
m
dan noma‘lumlari soni 
n
dan kam bo’lsa, u holda sistema nolmas yechimlarga 
ega bo’ladi. Нaqiqatdan ham 
n
m
r
а


. 
Olingan natijalar tenglamalari soni noma‘lumlari soniga teng chiziqli 
tenglamalar sistemasi uchun ham o’rinli ekanligini ta‘kidlab o’tamiz. 
Endi chiziqli tenglamalar sistemasini tekshirishga doir misollar qaraymiz. 
6-misol
. Ushbu 





















0
3
3
3
1
2
2
2
2
2
2
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
sistema birgalikda bo’lsa, uni yeching? 
Yechish
. Sistemaning matritsasi 






















3
3
3
2
2
1
2
1
2
1
2
1
A
ning rangini topamiz. Matritsaning birinchi va ikkinchi satrlarini qo’shib 
to’rtinchi satrdan ayiramiz. U holda 
А






















3
3
3
2
2
1
2
1
2
1
2
1




















0
0
0
2
2
1
2
1
2
1
2
1
















2
2
1
2
1
2
1
2
1
yoki oxirgi matritsaning birinchi satrini (-2) ga ko’paytirib ikkinchi satrning mos 
elementlariga qo’shsak 
А















2
2
1
0
5
0
1
2
1
bo’ladi. Hosil bo’lgan ekvivalent matritsaning rangi 
3

r
chunki 
0
5
2
1
1
1
)
1
(
5
2
2
1
0
5
0
1
2
1
2
2
















Demak, A matritsaning rangi ham 3 ga teng;
3

A
r
. 
Kengaytirilgan























0
3
3
3
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
B

---

46 
matritsaning rangini hisoblaymiz. 
A
matritsadagi singari elementar
alamashtirishlarni bajaramiz. 
В























0
3
3
3
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1























0
3
3
3
1
2
2
1
0
3
3
3
2
1
2
1





















0
0
0
0
1
2
2
1
0
3
3
3
2
1
2
1


















1
2
2
1
0
3
3
3
2
1
2
1

















1
1
0
0
0
3
3
3
2
1
2
1
Oxirgi ekvivalent matritsaning rangi 
3

r
bo’ladi. Demak kengaytirilgan 
B
matritsaning rangi ham 3 ga teng 
3

B
r
Matritsalar bir xil ranglarga ega bo’lganligi uchun sistema birgalikda. 
Bundan tashqari matritsalarning rangi noma‘lumlarning soniga teng, shu 
sababli sistema birgina yechimga ega. 
0


minor birinchi uchta tenglama 
koeffitsentlaridan tuzilgan, shu sababli to’rtinchi tenglama birinchi uchta 
tenglamalarning natijasidan iborat va uni tashlab yuborish mumkin. 
Berilgan sistemaning birinchi uchta tenglamalaridan tuzilgan uch 
noma‘lumli uchta tenglamalar sistemasini Kramer formulalaridan foydalanib 
yechib 
1

x
,
2

y
, 
1


z
ni topamiz. Bu yechim berilgan sistemaning ham 
yechimi bo’ladi. 
7-misol
.















0
2
4
2
2
2
4
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
sistema birgalikdami? 
Yechish
. Sistemaning matritsasi A ning rangini hisoblaymiz. 
A















2
4
2
2
1
1
1
2
1















2
4
2
1
2
1
2
1
1














0
0
0
1
2
1
2
1
1














0
0
0
3
3
0
2
1
1










3
3
0
2
1
1
. 
2

A
r
, chunki 
0
3
3
0
1
1





. Kengaytirilgan 
B
matritsaning rangini 
hisoblaymiz: 
В
=














0
2
4
2
2
2
1
1
4
1
2
1














8
0
0
0
2
2
1
1
4
1
2
1













8
0
0
0
6
3
3
0
4
1
2
1
3

B
r
, chunki 
.
0
24
)
3
(
8
3
3
1
2
)
1
(
8
8
0
0
6
3
3
4
1
2
3
3














. 
B
A
r
r

bo’lgani uchun berilgan sistema birgalikda emas.