Reja: Matritsaning rangi

Matritsaning rangi. matritsalarning amaliy masalalarga tadbiqi
Reja:

1. 
   Matritsaning rangi
   
2. 
   Birlar va nollar usuli.
   
3. 
   Matritsalarni yechish usullari.
   
4. 
   Matritsalar ustida amallar
   

Matritsaning rangi tushunchasini kiritamiz. 𝐴 matritsada 𝑘 ta satrlar va 𝑘 ta usunlarni ajratamiz, bu yerda 𝑘 soni 𝑚 va 𝑛 sonlarining kichigidan ham kichik yoki teng (𝑘 ≤ 𝑚𝑖𝑛 𝑚, 𝑛 ). Ajratib olingan 𝑘 ta satrlar va 𝑘 ta usunlarning kesishmasida turgan elementlardan tuzilgan 𝑘 −tartibli determinant matritsadan yaralgan minor yoki determinant deyiladi. 𝐴 matritsadan yaralgan determinantlar ichidan noldan farqlilarini ajratib olamiz. Ana shu noldan farqli determinantlar tartibining eng kattasi 𝑨 matritsaning rangi deyiladi
(𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴 deb belgilanadi).
Agar 𝐴 matritsadan yaralgan 𝑘 −tartibli determinantlarning hammasi nolga teng bo’lsa, u holda 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴 < 𝑘 bo’ladi.
Teorema 1. Quyidagi elementar (oddiy) almashtirishlar bajarilganda matritsaning rangi o’zgarmaydi:

1. 
   Ixtiyoriy ikkita parallel qatorlarning o’rinlari almashtirilganda;
   
2. 
   Qatorning har bir elementini bir xil 𝜆 ≠ 0 songa ko’paytirilganda;
   
3. 
   Qatorning elementlariga ixtiyoriy boshqa qatorning mos elementlarini bir xil songa ko’paytirib qo’shganda.
   

Agar biror matritsa boshqa matritsadan elementar almashtirishlar yordamida hosil qilinsa, bunday matritsalar ekvivalent matritsalar deyiladi. 𝐴 va 𝐵 matritsalarning ekvivalentligi 𝐴 ∼ 𝐵 deb belgilanadi.
Tartibi berilgan matritsaning rangiga teng bo’lgan noldan farqli har qanday minor matritsaning bazis minori deyiladi.
Birlar va nollar usuli.
Elementar almashtirishlar yordamida har qanday matritsani shunday ko’rinishga keltirish mumkinki, bunda matritsaning har bir qatori faqat nollardan yoki faqat nollardan va bitta birdan iborat bo’ladi. Hosil bo’lgan matritsa dastlabki matritsaga ekvivalent bo’lganligi uchun oxirida qolgan birlarning soni dastlabki matritsaning rangi bo’ladi.
Shu tarzda birinchi satrda yana nollarni hosil qilamiz:

Endi oxirgi matritsaning to’rtinchi satrini ikkinchi va uchinchi satrlar bilan qo’shamiz, buning natijasida ikkinchi ustunda yana ikkita nollar paydo bo’ladi, shundan so’ng to’rtinchi satr va ikkinchi ustunning kesishmasida bir hosil bo’ladi, to’rtinchi satrning qolgan hamma joyida nollarni hosil qilamiz.

Bu elementar almashtirishlar natijasida topamiz:

Uchta birlarga ega bo’ldik. Shunday qilib, 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴 = 3.
Bazis minor tuzamiz. Birlar qaysi satr va ustunda turganligiga e’tibor qaratamiz. Faqat nollarning o’zidan iborat bo’lgan satrlar va ustunlardagi elementlar bazis minorda qatnashmaydi, demak, ikkinchi satr, birinchi va beshinchi ustunlardagi elementlar bazis minorda qatnashmaydi.

T A ' R I F 1 : m ta satr va n ta ustundan iborat to¢gri to¢rtburchak shaklidagi m×n ta sondan tuzilgan jadval mхn tartibli matritsa dеb ataladi.

Matritsalar А,В,С kabi bosh lotin harflar bilan, ularni tashkil etuvchi sonlar esa а_{і ј} , в _{і ј} , с_{і ј} kabi bеlgilanadi. Bu sonlar shu matritsaning elеmеntlari dеb ataladi. Bu еrda і - elеmеnt joylashgan satrni, ј esa ustunning tartib rakamini bildiradi.