Nazariy mexanika

§. Juft kuch momentining vektoriga oid teoremalar

1-teorema. Juft kuch momentining vektori uni tashkil etuvchi kuchlaming ixtiyoriy nuqtaga nisbatan olingan momentlarining geo- metrik yig'indisiga teng.

I
sbot. Faraz qilaylik, jismga ( /'./') juft kuch qo'yilgan bo'lsin. Bu juft kuchning tashkil etuvchilarining ix­tiyoriy nuqtaga nisbatan momentlarini aniqlaymiz (38-rasm).

2. 
   ga ko'ra:
   

w₀( F) = T\ x F, m_{)( F') -- r_: x F'. (14.1)

1. 
   ni hadma-had qokshsak:
   

m_Q( F) + m₍₎(F') = r_{ x F + r₂ x (14.2)

F - - F' boigani uchun (14.2) quyidagicha yoziladi:

/«»( F) + w₍₎( F") - (t\ - r₂)x F

yoki m₀(F) + m₀F" - BA x F (14.3)

3. 
   ni (13.1) bilan taqqoslasak:
   

m₀( F) m₀( F') - M. (14.4)

Shu bilan teorema isbotlandi.

2-teorema. Juft kuch moment! vektori — erkin vektordir.

Isbot. Teoremani isbotlash uchun (14.4) dan foydalanamiz. 11- mavzudan bilamizki, nuqtaga nisbatan kuch momcntining vektori kuch va moment markazi orqali tuzilgan uchburchak yuziga per- pendikulardir. Shunga ko'ra, mfF) AOAC yuzaga, m_n(F') esa AOBD yuzaga perpendikular vo'naladi (38-rasm).

3. 
   ga ko'ra mazkur vektorlarning geometrik yigdndisi juft kuch momenti vektoridan iborat bo'lib, u O nuqtaga qo'yilgan. O nuqta ixtiyoriy bodgani uchun M ni ham fazcming ixtiyoriy nuq- tasiga qo'yish mumkin.
   

Demak, juft kuch momentining vektori M erkin vektordir.

Yuqoridagilardan foydalanib, juft kuch momentining quyidagi xususiyatlarini ta'riflash mumkin:

1. 
   juft kuchni tuzuvchilarini o'z ta'sir chizig'i bo'ylab ixtiyoriy nuqtaga ko‘chirsak, juft kuch momenti o'zgarmaydi.
   
2. 
   juft kuch momenti juft kuchlarni tashkil etuvchilarga qurilgan ACBD parallelogramning yuziga teng: M = S- _IBCD (37-rasm):
   
3. 
   juft kuchning o'zini ta'sir tekisligiga parallel bodgan tekislik- ka ko'chirilsa, lining jismga ta'siri o'zgarmaydi;
   
4. 
   juft kuch momentini o'zgartirmay, uni ixtiyoriy yelkaga kel- tirish mumkin;
   
5. 
   juft kuch momentini o'zgartirmay, uni o'z ta'sir tekisligida ixtiyoriy holatga keltirish mumkin.
   

14. 
    §. Fazo va tekislikda joylashgan juft kuchlarni qo‘shish
    

F
M


araz qilaylik, (F,/⁷,') va (F,F{) juft kuchlar ikkita kesi- shuvchi tekislikda joylashgan bod- sin (39-rasm).

Yuqoridagi keltirilganlardan foydalanib, ikkala juft kuchni AB yelkaga keltiramiz. Bu holda A nuqtada F_] va F_: . B nuqtada esa F{ va F kuchlar hosil bo‘- ladi. A va B nuqtadagi kuchlarni qo'shsak:

1. 
   ga ko'ra:
   

M = BA x R . (15.2)

1. 
   ni (15.2) ga qo'yamiz: M - BA x f] + BA x f₂,
   

bunda BA x f\ - . BA xf, = M₂.

Natijada M = M_{ + M₂. (15.3)

Agar juft kuchlar n ta bo'lsa, (15.3) ni quyidagicha yozish mumkin:

A/=£a/_v. (15.4)

i

Demak, fazoda joylashgan juft kuchlar bitta juftga ekvivalcnt boiib,uning momenti berilgan juftlar momentlarining geometrik yig'indisiga teng.

Agarda juft kuchlar tekislikda joylashgan bo'lsa, ular bitta juft kuchga ekvivalent bo'lib, uning momenti berilgan juft kuchlar mo­mentlarining algebraik yig'indisiga teng:

M =

i

14. 
    §. Fazoda va tekislikda joylashgan juft kuchlar sistemasining muvozanati
    

Fazoda joylashgan juft kuchlar sistemasi muvozanatlashishi uchun mazkur juft kuchlar momentlarining geometrik yig'indisi nol- ga teng bo'lishi zarur va yetarlidir:

M - X,- 0. ('6.1)

1. 
   ni Dekart koordinata o'qlariga proyeksivalasak:
   

XW,v =0, £A/_v: -0. (16.2)

2. 
   dan ko'rinib turibdiki, fazoda joylashgan juft kuchlar sis­temasi muvozanatda bo'lishi uchun juft kuchlar momentlari vektor- larining har bir koordinata o'qlaridagi proyeksiyalarining yig'indisi nolga teng bo'lishi kerak. Agarda juft kuchlar tekislikda joylashgan bo'lsa, ular momentlarining algebraik yig'indisi nolga teng bo'lishi zarur va yetarlidir:
   

X;jW_v=0. (16.3)

Masala. Qirralarining uzunligi 1 m boigan kubga juft kuch qo'yilgan. Bu juft kuch momentining moduli aniqlan- sin (40-rasm). F= F' = 2 N.

Y


? Nazorat savollari
echish. Masala shartiga ko'ra: SD= DB= 1 m.

ABSD dan: SB = yfBD² + SD² yoki SB = d = v2 m.

1. 
   ga asosan, M = F cl = 2.4l N.
   

1. 
   Juft kuch vajuft kuch momenti nima?
   
2. 
   Juft kuch momenti vektori qanday yo‘nalgan va uning miqdori ni- maga teng?
   
3. 
   Qanday shart bajarilganda ikkita juft kuch ekvivalent bo‘ladi?
   
4. 
   Fazoda joylashgan juft kuchlar qanday qo'shiladi?
   
5. 
   Tekislikda joylashgan juft kuchlar qanday qo'shiladi?
   
6. 
   Juft momenti erkin vektorligi haqidagi teoremani ta'riflang.
   
7. 
   Fazodagi juft kuchlar muvozanat sharti qanday?
   
8. 
   Tekislikdagi juft kuchlar muvozanat sharti qanday?
   

• 
  BOB. IXTIYORIY KUCHLAR SISTEMASI
  

14. 
    §. Kuchni berilgan markazga keltirish
    

Ta’sir chiziqlari fazo (tekislik)da ixtiyoriy joylashgan kuchlardan tashkil topgan sistema fazo (tekislik)dagi ixtiyoriy kuchlar sistemasi deyiladi. Ixtiyoriy kuchlar sistemasi ta'siridagi jism holatini yoki mu- vozanatini tekshirish uchun mazkur kuchlar sodda holga keltiriladi.

P

F'
uanso lemmasi. Kuchni bir nuqtadan berilgan markazga keltirish natijasida, keltirish markazida shu kuchga teng bo'lgan kuch va uning qo'shilgan jufti hosil bo'ladi.

O Isbot. Aytaylik, jismning A nuqtasiga F kuch qo'yilgan bo'lsin (41-rasm). Bu kuchni ixtiyoriy O nuqtaga parallel ko'chirish uchun 3-aksiomaga

^F" ko'ra mazkur nuqtaga (F\F”) o 0 kuchni qo'ya- 41-rasm. miz. Bunda F' = F” = F.

Natijada: F <=> (F ,F',F") yoki F <=> {F',(F,F")}.

Bu yerda (F,F") qo'shilgan juft kuchlar deyiladi. Mazkur kuchning momenti (11.2) ga ko‘ra quyidagicha bodadi:

M( F,F") = AO x F yoki M = m₀(F).

Demak, Fo(F',M) = (F,M). Shu bilan lemma isbotlanadi.

14. 
    §. Ixtiyoriy kuchlar sistemasini berilgan markazga
    

keltirish

F
araz qilaylik, jismga (F\ ,Fj ) kuchlar qo‘yilgan bodsin. 17-§ ga asoslanib,

Puanso lemmasini qodlaymiz (42-rasm).

Natijada O nuqtada (F{, /7 /;') kuchlar,

{m₀ (F_{) = M_{, w₀ (F₂) = M₂,..., /;,) = M„} qoNhilgan juft kuchlar hosil bodadi. Agar ( F\, Fi F„) kuchlarning ta’sir chiziqlari

fazoda bodsa, {Mi,Mi M_n) juft kuch

momenti vektorlari geometrik; tekislikda bodsa, algebraik qo‘shila- di. 15-§dan madumki, {F\ ,Fi F,', ) kuchlar kcsishuvchi kuch­

lar sistemasi bodgani uchun ular geometrik qo^lshiladi.

Natijada: R' = , M = , (18.1)

V — 1 v= I

Bunda F\ - F\, F{ = Fi, ..., F„ = F„ bodgani uchun (18.1) ni quyidagicha yozish mumkin:

R = Y_dF_v.M = ■ (18.2)

Ixtiyoriy kuchlar sistemasi tekislikda joylashgan bodsa, (18.2) ni shunday yozamiz:

* = X?v, /V/ = X M_k, =Zm₀(FM. (18.3)

2. 
   va (18.3) ifodalardagi R kuchlar sistemasining bosh vektori, M esa bosh moment deyiladi.
   

Demak, ixtiyoriy kuchlarni berilgan markazga keltirish orqali bitta bosh vektor va bitta bosh moment hosil bodadi (43-rasm).

Bosh vektor va bosh mo- mentni analitik usulda quyidagi- cha hisoblash mumkin:

/ ?_v=v_f. _R .

R - JR_x² + R./ + R? (18.4) cos{R\i) = $L, cos(R\J)=!!l,

A A

cos( FT J<) =
m_x = Z^wv^(F )' ^wi = Z«'_r (/; ), 4/. = v/H- (/;),

M = Jm-_s + M]. + M:\ (18.5)

cos {M^A\i) = ~. cos( M'\j) = . cos(^,*) = &.

M M M

Bosh vektor bilan bosh moment orasidagi bnrchakni aniqlash

uchun bu vektorlarni skalyar ko'paytiramiz:

R ■ M = R ■ M ■ costp

yoki

R,M, - R_vM_y + R.M^

cos^p - - —_r_ (18.6)

y]R; + R; + R: ■ JM; + M; f Ml

kelib chiqadi.

14.