Nazariy mexanika

§. Qattiq jismning ilgarilama harakati

Jism harakati davrida undan olingan ixtiyoriy kesma o'z-o‘ziga parallel ko'chsa, bunday harakat ilgarilama harakat deb ataladi (80- rasm). Masalan. velosiped pedalining harakati, to‘g‘ri uchastkada harakat qilayotgan avtomobil bortining harakati ilgarilama harakat- dan iborat. Unuiman ilgarilama harakatdagi jism nuqtasining trayek- toriyasi egri chiziqdan iborat. Jism ilgarilama harakatining xususiya- tini quyidagi tcorema bilan berish mumkin.

Teorema. Ilgarilama harakatdagi jism nuqtalari hir xil trayekto- riya chizadi, har ondagi tezliklari hamda tezlanishlari hir xil bo ladi.

Isbot. Jism Oxyz qo'zg'almas Dekart koordinatalar sistemasiga nisbatan ilgarilama harakatda bo'lsin. Absolut qattiq jism va ilgari­lama harakat ta'rifiga ko'ra jismning ixtiyoriy C nuqtasidan M nuq-

tasiga qarab yo'nalgan vektor CM o'zgarmas hamda CM \ \C_nM_n bo'ladi.

Natijada C nuqta qanday trayektoriya chizsa. CM ustidagi nuq- talar ham shunday trayektoriya chizadi (80-rasm). C \ a M nuqtalar radius-vektorlarini mos ravishda ^r< ■ A, desak:

r
(43.1)

„ /; CM

M



80-rasm.


dr\, _ cfiy cl CM


dt dt dt '

CM =const boigani uchun:


dCM

dt


- 0,


dr.


dr₍


^UM _ dt dt


yoki


V_M = V_c . (43.2)

(43.2) dan vaqt bo'yicha hosi­la olsak, te/.lanish hosil bo'ladi:


V,

nuqta tezligini topish uclnin (43.1) dan vaqt bo’yicha hosila olamiz:

d V m dVc

d
yoki a_M = a, .


(43.3)

t di

2. 
   formula ilgarilama harakatdagi jism nuqtalari tezliklari bir xilliligini, (43.3) formula esa tezlanishlari bir xilliligini ko‘rsatadi. Shunday qilib, tcorema isbotlandi.
   

Demak, jism ilgarilama harakati uning ixtiyoriy nuqtasi harakati bilan aniqlanadi, ya’ni:

x_M =x_M(t), y_M =y_Aflt), Zm = Z_M(t)■ (43.4)

42. 
    §. Qattiq jismning qo‘zg‘almas o‘q atrofidagi aylanma harakati. Aylanma harakat tenglamasi
    

J
z




(44.1)

ism harakati davrida undagi ikki nuqta qo‘zg‘almasdan qolsa, bu harakat aylanma harakat deyiladi (81-rasm). Qo'zg'almas 0 va A nuqtalardan ohuv- chi o^Lq jismning aylanish o‘qi deb atala- di. Jism aylanma harakatini tckshirish uchun qo'zg^lmas P_{) va jism bilan bir- galikda harakatlanuvchi Ptekislikni ola- miz. Ular orasidagi burchak P=
bo'lsin. Jism harakatlanganda P₀ va P tekisliklar orasidagi burchak o‘zgara bo- radi. Natijada mazkur burchak vaqtning funksiyasi boladi:

ip = ip(r).

1. 
   tenglama jismning burilish yoki aylanish burchagi deyiladi va u radian bilan o'lchanadi.
   

1. 
   tenglama qattiq jismning qo‘zg‘almas o‘q atrofidagi aylan­ma harakati qonuni yoki aylanma harakati tenglamasi deyiladi.
   

42. 
    §. Aylanma harakatdagi jismning burchak tezligi va burchak tezlanishi
    

Faraz qilaylik, t = t₀ da jismning burilish burchagi tp₀, t = da esa (p, bo'lsin. Bu holda vaqt o‘zgarishi At = — t₀, burilish bur-

chagining o‘zgarishi Acp = cp, — cp₀bo‘ladi.

Burilish burchagi o'zgarishining vaqt o‘zgarishiga nisbati jism­ning o'rtacha burchak tezligi deyiladi va a)₀._r bilan belgilanadi:

(45.1)

Jismning burilgan momentdagi burchak tezligini topish uchun

1. 
   formuladan At nolga intilganda limit olamiz:
   

Acp dip di o . .......

lim — - voki co = — = cp. (45.2)

Ar->o A? dr ■ dt ’

Demak, jismning burchak tezligi uning burilish burchagidan vaqt bo'yicha olingan birinchi tartibli hosilasiga teng. Uning oichov bir- ligi rad/s yoki 1/s dir. Jismning burchak tezligi burilish burchagining qanchalik tez o‘zgarishini va bu o'zgarish yo‘nalishini aniqlaydi. Shuning uchun burchak tezligi vektor sifatida ifodalanadi. Mazkur vektorni jism aylanish ckqining ixtiyoriy nuqtasiga qo'yamiz va yo‘- nalishini shunday tanlaymizki, uning uchidan turib qaralganda jism doimo soat strelkasiga teskari yo'nalishda aylansin (82-rasm).

Oz o'qni jism aylanish chqida olsak, burchak tezligining vektori bunday yoziladi:

co - oik , (45.3)

bu yerda: k - Oz o'qining birlik vektori.

Umumiy holda jismning burchak tezligi vaqt o‘tishi bilan o‘zga- radi. t—t₍₎ da burchak tezlik co_n, t-t_l da esa coj bo'lsin. Burchak tez­ligi o'zgarishi (Aco = co, — co₍₎) ni vaqt o‘zgarishi (At=t_l — r₀) ga nis- bati jismning o‘rtacha burchak tezlanishi deb ataladi:

A co

*'or = — . (45.4)

b

Aco

hm —

Ar-*0 >'


d co

Hi


d" cp

di


, . diio u _v ..

yoki c = — = — =



(45.5)

u yerdan At ni nolga intiltirib limitga ohamiz:

5. 
   d
   
   an ko'ramizki, jismning burchak tezlanishi burchak tez- ligidan vaqt bo'yicha olingan birinchi yoki burilish burchagidan olingan ikkinchi tartibli hosilaga teng.
   

Jism burchak tezlanishining vektori ( s ) ni aylanish o'qi bo'ylab tasvirlash mumkin (83-rasm):

e = = k —j- yoki s = zk = ipk . (45.6)

dtdt ^Y

Jism burchak tezlanishining o'lchov birligi rad/s² yoki 1/s² boia- di. Jism aylanma harakatining xususiy hollari quyidagilardan iborat:

1. Agar burchak tezligi (co=const) o'zgarmas bo'lsa, jism harakati tekis aylanma harakatdan iborat bo'ladi. Bu holda:

— = co = const dr

bundan cp = co/ + cp_(| (45.7)

kelib chiqadi.

7. 
   tenglama tekis aylanma harakat qonunini ifodalaydi. Agar
   _o=0 bo'lsa.
   

cp = co/, co = j (45.8)

bo'ladi.

Texnik masalalarni yechishda ko'pincha jismning 1 minutdagi aylanish soni n berilgan bo'ladi. Bu holda cp = 2nn, t = 60 s bo'lib.

2
(45.9)


<.







83-rasm.


tin tw ~60~ ~ 60

bo'ladi.

Ba’zi bir masalalarda ixtiyoriy /, vaqtdagi aylanish sonini topish talab etiladi. Bu holda aylanish soni N bilan belgilanib, u quyidagi formula yordamida aniqlanadi:

cp= 2nN, N =■£-. (45.10)

1 K

2. Agar burchak tezlanishi (c=const) o'zgarmas bo'lsa, jism ha­rakati tekis o'zgaruvchan harakatdan iborat bo'ladi. Bu holda:

d(a

— = g = const

d
bundan


CO — G/ + COq . cp — it——— + CO,, / + Cpq


(45.11)

t

kelib chiqadi.

(45.11) ning ikkinchi tenglamasi tekis o'zgaruvchan aylanma ha- rakat qonunini ifodalaydi. Agar harakat tekis tezlanuvchan bo'lsa, masalani hal etishda e oldidagi ishora musbat; tekis sekinlanuvchan bodsa, s oldidagi ishora rnanfty deb olinadi (83-rasm, b, e).

Jism harakati tekis tezlanuvchan bo'lganda burchak tezligi va burchak tezlanishining ishorasi bir xil bodadi (83-rasm, a, d).

42. 
    §. Qo‘zg‘almas o‘q atrofida aylanayotgan jism ixtiyoriy nuqtasining tezligi va tezlanishini tabiiy usulda aniqlash
    

Faraz qilaylik, jism Oz o‘qi atrofida co burchak tezligi bilan ay­lanayotgan bo'lsin. Jismning aylanish o‘qida yotmaydigan nuqtalar trayektoriyalari aylanalardan iborat bo‘ladi. Mazkur aylanalar mar- kazi aylanish o‘qida yotadi. Jismning ixtiyoriy M nuqtasi tezligini aniqlaymiz (84-rasm).

M nuqta chizgan aylana radiusi h = O_xM\ ds = MM_V

Matematikadan ma’lumki:

d
(46.1)

s = fukp.

1. 
   ning ikki tomonini At ga boiamiz: ^ = b~ ,
   

b

T

V



u yerda

Natijada

V = cd ■ h (46.2)

kelib chiqadi.

Demak, aylanma harakatdagi jism ixtiyoriy nuqtasining tezligi uning burchak tezligi bilan tekshirilayotgan nuqtadan aylanish o‘qi- gacha bo‘lgan masofa ko'paytmasiga teng. Ixtiyoriy nuqta tezligi chiziqli tezlik deb ataladi.

Aylanma harakatdagi jism ixtiyoriy nuqtasining tezlanishini urin- ma va normal tashkil etuvchilardan iborat deb qarash mumkin:

bu yerda	d< r) , P-h.
Shuning uchun
	ax - eh, an =w^2h.
	a = yja: + a^2 = /7 V s^2 + to^4	(46.3)

a.


dV dca , V² m²h²

~df ⁼ lt ^{n a}" “"T^-’

bo‘ladi.

Demak, chiziqli tezlik, urinma, normal va tola tczlanishlarning tabiiy usulda aniqlanishi mos ravishda (46.2) va (46.3) formulalardan iborat.

84-rasm, b dan: tgp = — = -M.. (46.4)

^an c,r

4. 
   formuladan ko'ramizki, burchak tezligi bilan burchak tez- lanishi jismning hamma nuqtalari uchun bir xil bolgani sababli tez- lanish bilan normal tezlanish (radius) orasidagi burchak p o'zgar- masdan qoladi. Aylanma harakatdagi jism ixtiyoriy nuqtasining chi­ziqli tezligi hamda tezlanishi mazkur nuqtadan aylanish o‘qigacha bo‘lgan masofaga proporsional ravishda o‘zgaradi.
   

47. 
    §. Chiziqli tezlik va tezlanish vektori
    

Jism ixtiyoriy M nuqtasining radius-vektorini r bilan belgilay- miz (84-rasm, a) .

AOOMdan: sin(c5^A,r) = — ,

¹ r

h = rsm(a^/',r). (47.1)

1. 
   ni (46.2) ga qo'yamiz: V = rorsin(to^A,r),
   

bundan

F = co xf (47.2)

kelib chiqadi.

Detnak, chiziqli tezlik vektori jism burchak tezligi bilan tekshi- rilayotgan nuqta radius-vektorining vektor ko'paytmasiga teng.

Chiziqli tczlanish vektorini aniqlash uchun (47.2) dan vaqt bo‘- yicha hosila olamiz:

b

dV	dc‘)		_ dr
nr	~ ~dt	x r	+ 0) x — dt
dci		dr	-
lit	— ■>	~dt '	- V .

unda

N

(47.3)

(47.4)


85-rasm.


atijada a = ex r + to x V .

(47.3) formulada: d_T e > r. a_n = cox V.

Demak, (47.3) chiziqli tezlanish vektorini, (47.4) ning birinchisi urinma (tangensial) tezlanish va ikkinchisi esa normal (markazga in- tilma) tezlanish vektorini ifodalavdi. Mazkur vektorlar yo'nalishi 85- rasmda ko^lrsatilgan.

47. 
    §. Chiziqli tezlik va tezlanishni koordinata usulida
    

aniqlash

Faraz qilaylik, jism Oxyz Dekart koordinata sistemasining Oz o'qi atrofida aylanma harakat qilayotgan bo'lsin (86-rasm). Jism ix- tiyoriy M nuqtasining koordinalarini .v, y, z; chiziqli tezlikning Ox, Oy, Oz. o'qlaridagi proyeksiyalarini V_v, V_y, F; burchak tezligi proyeksiyalarini co_v, oy, oxdesak. (47.2) formulani quyidagicha yozish mumkin:

NAZARIY MEXANIKA 1