Nazariy fizika kursi

5.2.4. So‘nuvchi tebranuvchi mayatnik
Mayatnik ishqalanish bor bo'lgan tashqi muhitda harakat qilayotgan 
bo'lsin. Bu holdagi chiziqli tenglama (4.58) ko'rinishga ega edi. U m u­
miy holda uni
a +
2
Ai +o^sin х = 
0
(5.68)
tenglamaga almashtirish kerak, bu yerda yana сц, = g/1. Tenglamada 
yana (5.60) yaqinlashuvga o'tilsa
2
х+щ.х = -
2
?
1
х+ — x} 
(5.69)
6
tenglama olinadi. Ishqalanish kuchli hadni o'ng tomonga o'tkazish 
bilan uni ham kichik tuzatma sifatida ko'rmoqchi ekanligimizni ayt- 
moqchimiz. Buning sababi (4.4) paragrafdagi muhokamadan kelib 
chiqadi, u yerda ko'rgan edikki, agar ishqalanish koeffitsiyenti katta 
bo'lsa, harakat tebranuvchan emas, tez so'nuvchi bo'ladi. Shunday 
qilib,
2
£ / U,*) = -
2
Ax + -^.x-\ 
(5.70)
6
Tenglamaning o'ng tomonini to'g'ri ochib chiqish uchun (5.22), (5.24) 
va (5.25) formulalarni qo'llash kerak:
x
=
a
cosy/ 
+ £ x ,
+ E 2
x
2
h—
;
.v = я cos у /-ay/sin у/ + £ i, +••• =
a
136

---

= -
ck
O
q
sin у/ + e(A, cos у/ - ay/x sin у/ + i , ) • • •.
(5.71)
Endi e f  ni qatorga yoyish mumkin:
e/(.v, x) = £ 
f( a
cosi//, 
-aa)0
sin 
у/) +
+£'
л, + -
Эл ' Эл-
\
Bu yerdan birinchi tartibli had sifatida
A, cosyr - ai//, sin у/ + ftJ0
Эх,
ду/
(5.72)
£ f
(acosyf 
, —
ck
O
q
siny/) 
= 
laAco^ siny/
+ 
^ c o s V
(5.73)
6
ifodani olish kerak. Natijada, birinchi tartibda quyidagi tenglamaga 
kelinadi:
1
T-
3_v,
dy/'
- + -V,
01
,
-(eA, +A«)sini// +
2
a 
a
■W
\
+
8
a 
. 
cosi//+ — cos3y/. 
(5
7 4
)
Rezonans hadlarning yo‘q boiishi shartlari:
f
A, = -Яa, fy/, = —
16
(5.75)
Shuni ta’kidlash kerakki, ko‘rgan misollarning ichida birinchi 
marta A, koeffitsiyent noldan farqli bo’lib chiqdi. Buning m a’nosini 
tushunish qivin emas — Ax koeffitsiyent nolga teng bo'lganda tebra­
nish arnplitudasi birinchi tartibda o Lzgarmasdan qoladi. So‘nuvchi 
tebranishlar uchun esa amplitudaning nolga intilishi kerakligi tushu- 
narlidir.
Topilgan koeffitsiyentlardan a va yr uchun tenglamalarga o'taylik:
da
~dt
= —Яа
dy /_ 
сгщ 
dt
’ 
16
(5.76)
Ularning yechimlari:
a
= 
aQ
ехр(-Яг). 
у/
= w0f + - ^ ( е х р ( -
2
Я г )-
1
) + у>, y/(0) = 
(p.
(5 .7 7)
32 A
Bularni x uchun ifodaga olib borib qo'yiladi:
137

---

х = aQ
exp(-Af)cos-{
~ ^ (e x p (- 2 A 0 - i)
+ (P \
(5.78)
Tebranish amplitudasi vaqt o‘tishi bilan nolga intilmoqda, tebranish 
fazasi murakkab funksiya bo‘lib, vaqt o'tishi bilan u cont + 
ifodaga 
intiladi.
5-bobga mashq va savollar
• 
2
1. Kinetik energiyaga quyidagi angarmonik tuzatma ST
= 
—
kiritilganda garmonik tebranishlarning o'zgarishini toping.
2. 
Quyidagi tenglama bilan ifodalanadigan
A' + A = £ ( 1 - A " ) . Y
va Van-der-Paul ossillatori deyiladigan sistema uchun birinchi yaqinlashuvdagi 
tebranish amplitudasi va chastotasi topilsin.
3. 
Quyidagi tenglama uchun birinchi tartibli yaqinlashuvda yechimni 
toping:
x +
cq y.c = £ ( 1 - л 2 
) x
+ £ a ? .

---

6-bob. Q A T T IQ J I S M HA RA K A T I