|
6.4.2. Tashqi maydondagi simmetrik piriidoq
(Lagranj holi)
6.7-rasmda tashqi gravitatsion maydonda
o'zining qo'zg'almas nuqtasi atrofida ayla-
nayotgan simmetrik piriidoq ko'rsatilgan.
Shu pirildoqning harakati integrallaymiz.
Bu ishni huddi avvalgi holdagidek bajaramiz,
ya’ni harakatini integrallari topiladi va ular
yordamida har bir crkinlik darajasining dina-
mikasi aniqlanadi. Rasmdan ko'rinib turibdiki,
qo'zg'aluvclian (va qo'zg'almas) o'qlar boshini
inersiya markazida emas, balki sistemaning
qo'zg'almas nuqtasida tanlab olindi. Inersiya
M
6. 7-rasm.
Yer
maydonidagi piriidoq.
157
markazidan shu qo‘zg‘almas nuqtagacha bo‘lgan masofani / deb
belgilaylik. (6.38) qoida bo‘yieha bu hoida {л;,, xv x3} sistemada bosh
inersiya momentlari /' = Г2 = /, +ml
2
= /',
/ 3
= I-. ga teng bo'ladi. Tashqi
gravitatsion maydondagi pirildoqning Lagranj funksiyasi shunga ko‘ra
ga teng bo'ladi. Bizda yana uchta saqlanuvchi kattaliklar bor — um um
lashgan impulslar
Shu yerda erkin va tashqi m aydondagi pirildoqlarning harakat
integrallari orasidagi farqni uqtirib ketaylik. Ikkala hoida ham uchta
harakat integraliga egamiz. Birinchi hoida energiya haqida gapirgan
emas edik, chunki u bizga kerak bo'Igani yo‘q. Farq quyidagi harakat
integralida: erkin pirildoq uchun pv = M edi,
Z — o'qi bo‘yicha
yo‘nalgan tashqi bir jinsli maydonda esa momentning Z — kompo-
nentasigina saqlanadi - pip = M z .
Formula (6.78) dan
ф
va
у/
larni topib:
L
=
^ / , (
2
sin20
+
0 2)
+
^ / 3
(
+y/)2
- m g l
cos 0
(6.77)
pv - —-~ 1
^ s in 2^ +
/3
(
0
+ y /)cos£ =
M z .
(6.78)
va energiya
M 7 - M 3 cos в
(6.80)
ularni (6.79) ga olib borib qo‘yamiz:
E = — Г в2 +■
I м1 i
1
[
m z
-M:,cose
)2
2 _
+_
_
_
+ m g l
C O S 0 .
(6.81)
Energiya uchun ifodani
м;
Е' = - Г в 2+1/ илв), Е ' = Е ---- --mgl,
2
■
' '
2
/,
1
(M y - M .co sdY
и с! [ ( в ) = -
----
„ . ^ --------
m g l ( \ - C O S 6 )
(6.82)
I'.
sin
ko'rinishda ham yozib olamiz. Energiya uchun ifodani bu holga keltirib
olganimizning sababi effektiv potensial
potensial o ‘ra ko'rinishiga
egaligidir, agar M z = M
3
bo'lmasa u 9 =0 va в = к nuqtalarda
cheksizlikka intiladi, 0<9 oraliqda esa minimumdan o‘tadi. Bu —
0 bo'yicha harakatning fmit bo'lishi kerakligini ko'rsatadi: в1< в < в 2.
To'xtash nuqtalari {в]гв2} Е' = иф shartdan topilishi kerak, harakat
sohasi esa E'>U,,n shartga bo'ysunadi.
Pirildoqning harakatini chuqurroq o'rganish maqsadida quyidagi
belgilashlar kiritib
M.
I'
h= Щ
I' '
C'
2
mgl
j
2 F/
г ' c ~ I'
(6.83)
energiya uchun ifodani
s i n
2
QQ1 — - {a — Ь )со$ в у +
г
(I
- cos
в )
s in 1
в
(6.84)
ko'rinishga keltirib olamiz. Ko'rinib turibdiki, bu formulada cos0 tabiiy
o'zgamvchidir, uni u=cos
0
orqali belgilansa tenglama
M = M ,
6.8-rasm.
f / ^ - n in g grafigi
ir -
- (
a-bu)2 +(\-u2)(d + c-cu)
159
(6.85)
k o‘rinishni oladi. Bu differensial tenglam a kvadraturaga oson keltiriladi:
Olingan integral elliptik tipdagi integrallarga mansubdir. Agar bu tengla
madan 9=9(1) topilsa oldingi tenglamalardan
va i//larni ham vaqtning
funksiyasi sifatida topish mumkin.
Bundan keyingi mulohazalar uchun muhirn bo‘lgani uchun (6.85)
ning o‘ng tomonini и o'zgaruvchining funksiyasi sifatida alohida belgilab
olamiz.:
tadqiqotga olib keladi. Bizning maqsadimiz
6.9-asm.
f-ning grafigi
uchun esa og'ir simmetrik pirildoqning (6.85)
tenglamadan kelib chiqadigan umumiy xos-
salarining o'zi yetarlidir. Buning uchun esa f(u) funksiyaning asosiy
xossalarirti o'rganish yetarlidir. Eng umumiy holda bu funksiyaning
grafigi 6.9-rasmda keltirilgaa.
Rasmdan yaqqol ko'rinib turgan bir m uam m oni yechishdan
boshlaymiz. /(« )
= 0
tenglama kubik tenglama, uning ildizlari soni
shunga ko'ra uchga teng. G o'yoki, to'xtash nuqtalarining soni uchga
teng bo'lib chiqmoqda. A m m o Uef] ning yuqoridagi muhokama-
sican m a’lum ki, finit harakat в <9 <
0
, chegaralarda ro'y beradi,
u~cos
6
» o'zgaruvchi tilida w(l) Bu nosozlikni qandav qilib
yechish m um kin? U ning yechimi oson: uchinchi ildiz ham m a vaqt
mavjudj ammo
bo'lgani uchun u fizikaviy m a’noga ega emas.
Uchinchi ildiz hamma vaqt w3> l ekanligini isbot qilaylik. (6.87)
tenglamadagi c
> 0
ekaniigidan kelib chiqadiki, и -> ~ bo'Iganida /
-_>00
b o 'la d i va и -н> —
bo 'Ig an id a /
—«>
b o 'la d i (rasm
chizilganida shu mulohazadan foydaianilgan edi). Endi f(u ) ning
■todasida it
= 1
deb olavlik:
(
6
.
86
)
f(u)
f ( u ) = -(a-bu)2 + (
1
-гГ)(( 1
-(6.87)
Elliptik integrallarning umumiy nazariyasi
,
asosida (
6
.
86
) integral orqali aniqlanadigan
M '*■
funksiyaning hamma xossalarini o'rganish
u,-t mum kin edi, ammo bu yo'l katta matematik
160
/ (
1
) = -{а-b)2.
(
6
.
88
)
Demak, bu nuqtada / <0, bu degani, uchinchi ildiz и =1 nuqtadan
o'ngroq yotishi kerak.
Bundan bitta istisno bor — a ~ b , yoki, Mz = M, bo‘lgan hoi. Bu
hoi pirildoq vertikal turganiga mos keladi, uni keyinroq tahlil qilamiz.
Faraz qilaylik, pirildoqning boshlang'ich og'ish burchagi (vertikalga
nisbatan) 90 bo ‘lsin. K o ‘rsatish qiyin emaski, (6.85) tenglamani
=cosfl
0
o'zgaruvchi orqali
(i - Mq )u~ =
(u
-u0)[2ab(
1
+
uu0
)- (a2 +b~ )(n
+
»ц) -
c(
1
- u2
)(1
-njj)] (6.89)
ko'rinishga keltirib olish mumkin (2-masalaga qarang). Bundan xulosa
shuki, и ham /(«)== 0 tenglamaning yechimlaridan biridir. Keyingi
xulosalar
Download Do'stlaringiz bilan baham: |
