|
1ц
= X
” 'u ( ^ Г"2 “
"
h'i
+
m {SUa2 - a~a i
)
(6.38)
bo'ladi, bu yerda
m
= ^jn,, — sistemaning to'liq massasi. Bu munosa-
batni keltirib chiqarish uchun inersiya markazining ta’rifi Ъ ' 1^ =
0
yetarli bo'ladi.
6.1.1-misol. Massalari
m,
va
ms
va o'zaro masofasi / bo'lgan ikki m oddiy
nuqtadan tuzilgan sistemaning inersiya m om entlarini toping.
Ikkala m oddiy nuqta yotgan chiziqni г o'qi deb olam iz. Bu sistemaning
inersiya markazi
пц
+ m2z2 - 0, z2 ~ я = I
tenglamalardan topiladi (ikkinchi nuqta yuqorida joylashgan bo'lsin):
h n 2
1щ
1
пц + m2
'
Щ + m2
Ravshanki, / ,= 0 , chunki sistemaning г o'qi atrofida aylanishi haqida gapirish
m a ’ noga ega emas. B u n i asosiy fo rm u la (6.28) dan ham ko'rish qiyin
emas:
h = Y jflu ( 4 + У a ) =
0
,
u=l
chunki
X| =
= x2
=
y2
= 0. D avom etamiz:
V
2
2 ,
2
1 Щ Щ ,2
f \ = f2 = Z J n a - a =
" ! I M
+ m 2 Z 2
= -------- ^--------
1 ■
111, + !1U
u=l
1
Bir chiziqda
3
ta m oddiy nuqta joylashgan bo'lsachi? Q o'shni nuqtalar
orasidagi masofa yana
I
bo'lsin. N uqtalarning inersiya markazi sistemasidagi
koordinatlari
/7i, v,j “b ni^z
2
m^z^ — 0,
z2
Z\
—
— I
tenglamalardan topiladi:
m2 + 2m3
(
ml - m3
;
_
2пц + m2
;
Z| = ----------- /,
Z.7
= -------
5
I
,
Zj
=
=
«•
m{ + m-, +
“
пц + rn2 + пц
пц + m2 + пц
Natijada quyidagini olamiz:
V
1
?
•>
2
2
т 2пц + тЛтт + Апц) 2
Л = ’ -I = 2 j n az l = »hz{ +m2z\ +m3Zj = — ’— ■
-1
— f---- '- I-
m, + m7
+ ш,
£1
=
1
1
2
3
147
Bir chiziqda я-ta moddiy nuqta joylashgan bo'lsachi? Yuqoridagi muio-
hazalarni qaytarib
ekanligi topiladi. Bu yerdagi yig'indiga hamma a va b lar bir martadan
kiradi.
6
. 1.2-misol. Radiusi R va massasi m bo‘lgan bir jinsli shaming inersiya
momentlarini toping.
Bir jinsli shar uchun p = 3mt(4jiR').
Huddi shu yo‘l bilan /, va /, iarni ham topib /( = /,=/,. ekanligiga
ishonch hosil qilish mumkin.
6.1.3-misol. Uzunligi 1. asosining radiusi a va massasi m boMgan bir
jinsli silindrning inersiya momentlarini toping.
Silindrning zichligi p -
т 1 (к а21)
■
Hisobni silindrik sistemada bajarish
qulay:
Agar a -->0 limitga o'tilsa, ingichka sterjen deb ataladigan jismning
inersiya momentlarini topgan bo'lamiz:
Yuqoridagi terminologiya bo‘\icha ingichka sterjen rotatordir. Silindrning
aylanma kinetik energiyasi
R
я
I
k
(6.39)
2л-
1/2
/
a~
н—
K cdJ
J
J
4
0
0
-
1/2
3
J
(6.40)
Tekshirib ko'rish qiyin emaski, /,=/2. Uchinchi moment:
II
In
in
(6.41)
о
0
-in
/, = /, = -- . U =
0
.
12
(6.42)
148
ko'rinishga ega bo'Iadi.
Tekislikda joylashgan va radiusi
a
ga teng bo'igan massa taqsim otining
inersiya m om entlarini topish uchun silindr uchun formulalarda /
—>0
deb
olinsa yetarlidir:
(6.44)
D em ak, radiusi
a
va massasi
m
bo'igan ingichka diskning aylanish kinetik
emergiyasi
та ~
8
(6.45)
ga teng.
6.1.4-misoI.
6.3-rasm da ko'rsatilg an bir jin s li massasi
m
ga teng
bo'igan tcshikkulchasim on sim m etrik p irild o q n in g inersiya m o m entlarini
toping.
E D
6.3-rasm:
Teshkulchasimon simmetrik pirildoq.
Teshikkulchaning hajm i
V=2K1a1R.
Ravshanki,
1=1=1.
Shuning uchun
I +1=21
ni hisoblash qulaydir (silindrik sistemada):
R--a
-"2
2
k
21
=
J
dr
r
J
d ; Jd < p p (
2 ; 2
+
r2) =
2-.
n-a-R ,
2
t n°\
4
— (5a
+4R )p,
R~u
(6.46)
z2
=
Z ic h lik u c h u n
p - т/(2к2а 2R
) ifo d a n i q o 'lla n s a q u y id a g i ja v o b
o lin a d i:
U ch inch i bosh m o m e n tn i h a m topish qiyin emas:
R + a
-2
/ ,= J d ^ J d z J d
(648)
R - a
zj
0
6.1.5-misol.
Y a rim o ‘qlari
a,b
va
с
b o 'lg a n bir jin s li e llip so id n in g
inersiya m o m entlarini toping.
Ellipsoid 6.4-rasmda ko‘rsatilgan. E llipsoidning tenglamasi
v + -v +
_
a"
b~
c~
(6.49)
4
к
6.4-rasm:
Ellipsoid.
E llip s o id n in g h a jm i
m assasi
ni.
O 'zgarm as zichlik: p =
m!V . x
o'qiga nisbatan inersiya
m o m e n ti:
/, = p
J dA-dvd-i y ’ + ;T ) =
p
J dx Jdy Jdr.(y2 + : 2) =
f t ' 2)
(6
50)
-a
ч
Integralga kirgan chegaralar quyidagicha aniqiangan:
\
?
b 111
A'j —
,
Zi
— C‘.
c r
'
"
“
\
c r
ir
x
v
(6.51)
H u d d i shu v o ‘ l b ila n q o lg a n ik k ita inersiya bosh m o m e n tla r i h a m
to p ila d i:
/ ,
= ~ ( a 2+c2).
/, = — (a
2
+ b2).
~
5
‘ -
5
(6.52)
6.2. Eyler burchaklari
Qattiq jism bilan bog‘liq bo‘lgan harakatdagi koordinata o‘qlarining
yo'nalishlarini har xil yo‘l bilan tanlab olish mumkin. Shu imko-
niyatlarning ichida Eyler burchaklari bilan bogliq tanlov o ‘zining
katta qulayliklari bilan ajralib turadi. Eyler burchaklarining ta’rifi
6.5-rasmda ko‘rsatilgan.
Bu {(р,ц/,0) burchaklardir. Bizni faqat burchaklarning yo'nalishlari
qiziqtirgani uchun harakatlanuvchi va qo‘zg‘almas sistemalarning bosh
nuqtalari birlashtirildi. Rasmdan ko‘rinib turibdiki, kiritilgan burchak-
150
Eyler burchaklarining ina’nosi
shundaki, jism n in g fazodagi ix-
tiyoriy buralishini uch bosqichdan
iborat deb qarash mumkin: 1) Z o ‘qi
atrofida
burchakka, 2) X o'qining
yangi holati CW (CW chiziq tugunlar
chizig'i ham deyiladi) atrofida
0
laming o ‘zgarish sohalari
Q < < p < 2 n ,
0
<
у/
< 2к va о < в < n •
V
6.5-rasm:
Eyler burchaklari.
burchakka va 3) x
3
atrofida у/ bur
chakka. Bu burchaklarni qo'llash uchun birinchi navbatda qattiq jism
burchak tezligini ular orqali ifodalab olish kerak.
Burchak tezligining qo'zg'aluvchan (xr x2,x,) sistemadagi kom-
ponentalarini Q = {£
2
,.
12
- . } , buralgan koordinatlardagi kompo-
nentalarini esa £1 = {ф,в,y/\ deb belgilab olamiz. 5-rasmdan ko'rinib
turibdiki. ф — Z o'qi atrofidagi aylanish burchak tezligi, в — ON
o'q atrofida aylanish burchak tezligi, yr — x, o'qi atrofidagi aylanish
burchak tezligi.
Mana shu burchak tezliklariga mos keluvchi vektorlarni katta harflar
bilan quyidagicha belgilaymiz:
Ф , 0,\|/.
Demak,
Ф
— Z o'qi bo'yicha yo'nalgan va son qiymati ф ga teng
bo'lgan vektor, © — O N o'q bo'yicha yo'nalgan va son qiymati 6 ga
teng bo'lgan vektor, \
|/ — x, o'qi bo'yicha yo'nalgan va son qiymati
yr ga teng bo'lgan vektor.
Uiarning har birining (xp x2, x3) o'qlariga bo'lgan proyeksiyalarini
rasmdan topib olish qiyin emas:
Bu ifodalarning birinchi komponentalarinig yig'indisi Q, ni, ikkinchi
komponentalarinig yig'indisi
ni va uchinchi komponentalarining
yig'indisi Q
3
ni beradi:
Ф = {
0 = {0cosi//,-0siny/,O};
(6.53)
151
Q, =
0
siny/ +
0
cost//;
Q n = ф sin
0
cost//-Qsirn//;
a .,= v coSe +v>.
(6
54)
Bu burchaklarning qulayligini qattiq jism harakat tenglamalarini
integrallashda ko‘ramiz.
Download Do'stlaringiz bilan baham: |
