Nazariy fizika kursi

6.1.5. Inersiya tenzori
(6.28)
a
Muhokama qilingan qoida bo'yicha uzliksiz muhit uchun
(6.29)
144

---

Ta’rifga asosan, inersiya tenzori jism ichidagi massa taqsimotining 
xarakteristikasi ekan. Bu — har bir jismning ichki xarakteristikasi. Uning 
komponentaiarini ochib yozaylik:
4 .
b .
I,
з '
'X « u .v u2+?«2>
~ Y j r,uXaZa
I n
111
h i
~ Ъ пЛ У ч
X 'V^ Xa+:a)
~ Ъ т аУа*-а
hx 
h i
V
h i
)
Х ш«(л» + 
У">
(6.30)
Ta’rifdan ko'rinib turibdiki, inersiya tenzori simmetrik tenzordir:
(6-31)
Bundagi shartlarning soni 3 ta, demak, simmetrik tenzorning 9 ta 
komponentasidan 
6
tasi mustaqildir. Undan tashqari, uchta burchakdan 
foydalanib jismning tazodagi oriventatsiyasini o‘zgartirishimiz mumkin, 
bu yana 3 ta shartni beradi. Shularni hisobga olinsa simmetrik tenzorni 
uchta mustaqil komponenta orqali ifodalangan ko‘rinishga keltirish 
mumkinligi aniqdir. Buni boshqacha ham aytish mumkin: koordinat 
o lqlarini aylantirib, simmetrik tenzorni diagonal ko'rinishga keltirish 
mumkin:
'Ги
h i
h i )
0
0 '
1
2,
>22
*23
0
I 2
0
'31
Нг
1
33
0
0
h
(6.32)
Bu yangi yo‘naltirilgan o ‘qlar inersiya bosh o ‘qlari deyiladi, 
I v L 
lar esa bosh inersiya momentlari deyiladi. Diagonal ko‘rinishga 
keltirishga geometrik m a’no ham berish mumkin. Quyidagi kvadratik 
formani ko‘raylik:
Л'*" /j ] + V“ f П + Z~ f yi + 2xyl{1 + 2xZ,l| ^ + 2yzl
23
 ~~ A. 
(6.33)
M a iu m k i, ixtiyoriy simmetrik matritsani diagonal ko‘rinishga keltirish 
m um kin va shu matritsa bilan bog‘liq bo‘lgan kvadratik formani 
kanonik (ya’ni, faqat kvadratlardan iborat bo‘lgan) ko‘rinishga keltirish 
mumkin. Ikkinchi rang simmetrik tenzorini mana shunday matritsa 
deb qarab, uni (6.32) diagonal formaga va u bilan bogiiq bo‘lgan
(6.33) kvadratik formani kanonik formaga keltirish mumkin. Buning 
uchun koordinat o ‘qlari ustida quyidagi ortogonal almashtirish ba- 
jarish kerak:
145

---

Natijada
г,
= 
O jj / j ,
rt
= 
(A-, 
у, г}, 
r ' = { x \ у ',
г'}. 
(6.34)
x l + x2I
+ z “/ 
+2xyl +2xzl
+ 
2
v 
zl - ! x'2 +1 x'~ + I z'1
(6
3 5
)
1 
' 
22 
33 
12 
13 
' 
23 
1 
2" 
3
2
 
2
 
2 
X
У 
”
formula olinadi. Analitik geometriyadan m a’lumki, — + -— + -- = 1
a 
b~ 
c~
tenglama ellipsoidning tenglamasi, shu sababdan kvadratik forma
'2 
>2 
r
2
/2
/2
'2
x 
x 
z 
. 
x
у 
с
---
1
----
1
--- _ 
1
_ —- 4-- — -I---
AUX
 
A /I2 
A /I} 
a '2 
b '2 
с
bilan bog‘liq bo‘lgan figura ko'pincha inersiya ellipsoidi deb ataladi. 
Yangi o'qlar 6.2-rasmida ko‘rsatilgan.
Shunday ish bajarilgandan keyin aylanish kinetik energiyasi
Tmi = ^ ( / , ^ + / 2Q ; + / ,Q ] )
(6.36)
ko'rinishni oladi. [mpuls momenti uchun ham
(
6
.
2 2
) ning o‘rniga soddaroq ifoda olinadi:
M , = /,£},, M 2 = / 2Q 2, M 3 = / 3Q 3. (6 .3 7 )
Bosh inersiya momentlarining ixtiyoriy biri boshqa 
6
.
2-rasm. Inersiya 
ikkitasining yig‘indisidan hech qachon katta 
ellipsoidi. 
bo‘lishi mumkin emas — buni (6.30) ning diagonal
elementiaridan ko'rish qiyin emas.
Agar 
bo ‘lsa, bunday jism asimmetrik pirildoq deyiladi.
/ = / 2* / 3
bo ‘lsa, simmetrik pirildoq deyiladi. /,=/,= /, holda shar 
p irild o q deyiladi. B irin c h i holda e llip so id n in g uchala asosiy 
o'lchamlari har xil bo'Iadi. Ikkinchi holda eliipsoidni л-, у tekislik 
bilan kesilsa to‘g'ri aylana olinadi. Bu holda shu tekislikda x, у 
o'qlarini qanday tanlab olish ahamiyatga ega emas. U chinchi holda 
ellisoid sharga aylanadi, uchala o'qlarni qanday tanlab olish aha­
miyatga ega emas.
Agar /,=/,, /
3=0
bo'lsa, bunday jism rotator deyiladi.
Inersiya tenzori o ‘zining qanday nuqtaga nisbatan aniqlanganligiga 
bog'liq bo‘ladi. Inersiya tenzorining yuqoridagi ta’rifi inersiya marka- 
ziga nisbatan olingan ta’rif edi. Agar koordinata boshi a vektorga 
siljitilsa: 
r’ = r + a 
, yangi va eski tenzorlar orasidagi munosabat
146

---