|
(Щ>\
c o s y /)--— v c o s v /- - % - c o s 3
ц/
(5.36)
dy/~
Щ
4 Щ
4ko‘rinishga keltiriladi. Demak, rezonans hadlarning hosil boMmaslik
shartlari
ifodalarni beradi. Bularning ikkinchisi yangi chastotani beradi:
hadni (-jcq = - «
3
cos'V) ga tenglashtiramiz:
(5.38)
Natijada x, uchun tenglama
(5.39)
koi'inishni oladi. Uning yechimi
131
A'l =
-a
n cos3y/ = ■
a
cos(3ft>f + 3ф).
32сц,
32ce^7
(5.40)
Yana qaytatdan (5.20) yechimni olindi.
Endi x, ni topishga kirishamiz. Buning uchun (5.31) va (5.32)
formulalardan foydalanish kerak.
N a t i j a :
d y 2
+
2
(o„
d
x ,
d
a,
A --- L + t//,-- -
dyrda
Эу/‘
A dAx
>
Л, — L - rti//t -
2
«й)ц
1
//т
da
cosi//-
<:/(//,
.
,
дА,-- 1 + 2,4,1//, +
I
c
O
q
A
j
sin у/ = -Зх^А', .
da
(5.41)
x(), a'| , A! va у/ ! laming o'rniga tegishli ifodalarni qo‘yib, tenglama
soddalashtiriladi:
Э2х,
2 A,
a
--
-
+ as = — - sin
у/
н— -
dy/'
~
Щ,
сой
2
o
W
i
+
15a
i 28cor;
cos
у/
+
2
Icr
3a
1
- cos Зу/------г cos 5
yr.
128o>n
128^;
Rezonans hadlarning yo‘q bo'lish shartlari:
X
А
15я5
A =0.
у/1
= ----- г-
256
0$
Natijada л', uchun quyidagi tenglama qoladi:
32x,
2 1« 5
3,7s
-- =- + Xo = ---- г cos Зу/------- cos 31//.
dt//~
~ 128^
128сц;
Uning yechimi:
(5.42)
(5.43)
(5.44)
1
024(0,1
cos 3i// -
3rt
I024fttf
-cosM//.
(5.45)
Bajargan ishimizni yig'ib chiqaylik. f aniqlikdagi topiigan yechirn:
Tebranish chastotasi:
3
a 2e
15у/ = cot+
-------- - t-r(p.
8 %
256ft^ J
(5.47)
V
Biz yana bir marta kombinatsion chastotaiarning (yuqori garmoni-
kalar) hosil bo'lishi va chastotaning amplituda va masaladagi parametrga
bog'liq bo'lib siljishi hodisalarini ta’kidlab ketaylik. Bu hodisalar
nochiziqli tebranishlar uchun hos bo'igan hodisalardir.
5.2.2. Angarmonik ossillator: 8U = m£x3.
Yuqoridagi metodni
tenglamaga qo'llaylik. Metodning mohiyatini ma’lum darajada tushun-
dik deb uning ustida oitiqcha to'xtalib o'tirmaymiz.
Bu gal ham masala e
2
aniqlikda yechiladi. Tenglamaning o'ng
tomoni:
bajaramiz va rezonans (sekular) hadlarning yo'q qilish shartlarini
topamiz:
x+afix = -ex2
(5.48)
—£ f(x ,x )- —£(x0+£xl -\
— )2
= —£x^j — 2
e
"X
q
X1 H— .
(5.49)
Birinchi yaqinlashuv tenglamasi:
V T
7
2
Tenglamaning o'ng tomonida cos ¥ = (1 + cos2y/)/2
almashtirish
Л, =
0
,
у/, =
0
.
(5.51)
Yakuniy tenglama:
Bu te n g la m a n in g y e c h im i:
a
a
•v, = ----- h--- - cos
2у , у - co{)t
+
(p.
- ,
, ,
....................
(5.53)
2
o\,
6
СЦ)
Ushbu tartibda chastota
0
‘zgargani yo'q, chunki
1 / ^ = 0
. Keyingi
tartibli had uchun tenglama ( (5.51) hisobga olindi):
(On
( л
2
d Л'-)
'' -H ЛЧ
=
2асо0у/2
cosy/ +
2
o
^ / \ 2
(5
5 4
)
Bu yerga ,v(l va x( larni qo‘yib keraklicha soddalashtiramiz:
/
- + .Vi
2 a
5 a
'1
— V2+ —
dy"
"
“
6
СЦ)
Rezonans hadlarning yo‘q bo‘lishi shartlari:
5a2
cos i/m---
A2s\ny
---- -cos3y/.
(5 55)
Ct)r
А/-.Л
6
ц,
л
2
=
0
, у 2 =
(5.56)
(5.55) ning yechimi:
48cos
3y.
(5.57)
Shunday qilib, harakat tenglamasi (5.48) bo‘lgan sistemaning
e~
aniqlikdagi tebranishlari topildi:
a
ea~
„
~
x - a c osy - e
0 +
,cos2t// +
cos3y,y-
2a%
48*ц,
« V
c 2 2 \
5 a e
\2
c
4
t +
(5.58)
5.2.3 Mayatnik
Matematik mayatnikning aniq harakat tenglamasini o ‘z vaqtida
keltirib chiqargan edik ( (1.105) va (1.111) tenglamalarga qarang). Bu
yerda o ‘sha tenglamani
* +
"7
sin x =
0
(5.59)
134
ko‘rinishda yozib olinadi (qulaylik uchun <р-»л- almashtirish bajaril-
di). Kichik argument uchun o‘rinli bo'lgan
-V
sin л: — x---
1
—
3!
yoyilmadan foydalanib (5.59) ni
x +
o
)
qx
= — a’ . a>Q = —,
(5.61)
6
I
ko‘rinishga keltirib olinadi. Agar o‘ng tomondagi kubik hadni tashlab
yuborilsa mayatnikning (chiziqli) garmonik tebranishlari tenglamasining
o‘zi olinadi.
0
‘rganilayotgan hoida birinchi angarmonik had kibik
had ekan. Krilov—Bogolyubov metodini shu tenglamaga qoilaylik.
Metodni qoMlash uchun nochiziqli hadni kichik tuzatma deb
qarashimiz kerak, ya’ni
2
£/(.v,.v) = "°
(5.62)
6
Bu yaqinlashuv hatto x = 30° (x = 0.5236rad) bo‘lganda ham juda yaxshi
yaqinlashuv bo‘ladi: (a- a’/
6
) - sin л- = 0,4997-0,5 = 3 10 4.
Agarda bu yaqinlashuvning aniqligi yetarli bo‘imasa sinusning
yoyilmasidagi keying! hadni ham hisobga olish mumkin.
Shularni hisobga olib (5.61) ni yechishga o'taylik. Yechim yana
(5.22) ko‘rinishida izlanadi. Birinchi tartibli tuzatma uchun (5.31) asosida
ад,
/л
2
Л
d A',
+ X\
ду/
tenglama olinadi. Demak,
.
2
caur
r,
= 2(O0Al s\nyf + 2aoj[)4/t cosy/+ 1
cosV-
(5.63)
A =
0
, Wx = - °}°a .
(5.64)
16
x, uchun tenglamaning ko‘rinishi esa
Э"а,
a
3
—- 7
+
^1
= — cos 3i//.
(5.65)
dy/~
24
Shunday qilib, matematik mayatnik uchun birinchi nochiziqli had
hisobga olinsa
135
3
а 2 )
^ t + (P
(5.66)
yechim olinadi. Ko'rinib turibdiki, mayatnikning chastotasi kamaydi,
tebranish davri esa o‘sdi:
T,
T = - ^ - = T0(]+^~).
!_f[_
16
(5-67)
16
Shu yo'l bilan keyingi hadlarni ham topish mumkin.
Download Do'stlaringiz bilan baham: |
