Nazariy fizika kursi

5.2. Umumiy metod
Ko'rib chiqqan misollarda kuchsiz nochiziqli tebranishlarning bir 
necha asosiy xossalari bilan tanishdik. Shu misollarni umumlashtirib 
ma’lum bir metodga kelish mumkin. Umumlashtirish yo‘llari bir necha 
ular ichida boshqa ko'pgina metodlarni o‘z ichiga olgan va barkamol 
deb hisoblangan Bogolyubov-Krilov metodini o'rganamiz.
Bizga
х + сцтл = ef(t,x, x) 
(5.21)
ko‘rinishdagi tenglama berilgan bo‘lsin. Bu yerda e — masaladagi 
kichik parametr, f{t,x,x) —- o‘z argumentlarining funksiyasi. Kichik 
parametrning mavjudligi gap kuchsiz nochiziqlik haqida ketayotganidan 
dalolat beradi. Yechimni
,v
A' = flCOSy/ + 2V',l-,,(rt,Y/-) + 
0 (£ 'V fl) 
= X0 +£.Y| +£2X2 + ■
•■
(5.22)
/
1=1
ko'rinishda qidiramiz
1
(x
0
=acosi//). Avvalgi paragraflardagi misollarda 
ko'rdikki, yuqori tartiblarga o‘tganda tebranish chastotasi va garmoni- 
kalarning amplitudalari o‘zaro bog'liq bo'lgan murakkab funksiyalarga 
aylanadi.
1
Eslatib ketaylik. 
ifoda 
£
—> 0 limitda 0 ^ е л+| 
1
= 
const
ekanligini bildiradi.
127

---

Masalan,
ц> = a\)t 
+ 
(ey/l 
+£2y/2 +•••)/ + 

(5.23)
bunda 'P — topish kerak bo‘lgan funksiyalar, ф — boshlang'ich faza. 
Shuni nazarda tutib, (5.22) dagi kattaliklar quyidagicha ta’riflanadi:
-j- 
= eA{ +e2Az +•■■ = ^
1
g"/4>l(a) + 
0
(£ft+' ),
(5.24)
1 
J 
,
= a
;0
+ ey/x + е2ц/1 + ■
■
■
= «*,+ 
+ 0(sN+]). 
(5 2$)
«=|
Hosil bc»‘lgan 
xn ,A n,y/n 
funksiyalar shunday tanlanib olinishi kerakki,
(5.22) orqali aniqlangan funksiya (5.21) tenglamaning yechimi bo‘lib 
chiqsin. (5.22) formulaga ahamiyat berilsa hisoblash davomida vaqt 
bo‘yicha hosilani a va у/ bo‘yicha hosilalarga o‘tkazib olish qulaydir. 
Murakkab funksiyaning hosilasiga tegishli zanjir qoida bo‘yicha:
dx _ da dx d\}/ dx
dt 
dt da 
dt dyf 
(5.26)
(5.21) tenglamaga qo‘yish uchun x(a(t),y/(r)) ning vaqt bo'yicha 
ikkinchi tartibli hosilasi kerak:
d Lx _ d 
dt" 
dt
da dx dij/ dx 
dt da 
dt d y
d 2a dx d 2w dx 
T T ” + ~7T'T~'
dt" oa 
dt" d Ц/
dyf Y 
da dyf d"x
1 , 
, , • 
-
dt j da" { dt ) dlj/2 
dt dt dad if/
- + 
2
(5.27)
Bu yerda hosil bo'lgan a va ij/ lar ham mos hoida quyidagi ko‘rinishga 
keltirib olinadi:
d 'a _ da d da 
da 
dt1 
dt da dt 
dt
dA,, (a )
d"\jf _ da d d\ff 
da 
d r
dt da dt 
dt
ъ
da
dy„Ui)
da
cla
= £"A,
d y t{u)
da
+ 0(£ )
(5.28)
(5.29)
128

---

(5.21) tenglamaning chap tomonini to‘liq ravishda kerakli ko'rinishga 
keltirish uchun yana bir necha hosilalarni hisoblaylik. Ularda ham 
£2 
aniqlik bilan chegaralanamiz:
dx 
dx, 
i dx?
— = cos у/+ e-r-L + e ~ +  
da 
да 
da
dx 
. 
dx, 
> 
dx
-- = -asinl// + £ — - + £ ' —- +
ду/ 
ду/ 
dyz
d~x 
d"x, 
i Э2Л'т
— - = £ --f + £ ‘ --г 4" ” ’
da 
da 
da
d2x 
d2x, 
2 d 2x2
~ - a cosy/+ £-- k + £ ~— T + -".
дуг 
ду/' 
dyz
d 2x 
. 
Э
2
a, 
, rl
2
.v,
- -siny'+f:•-■-+£ —— + •••. 
(5.30)
olj/aa 
cjy/aci 
ay/aa
Agar £ bo'yicha kvadratik hadlar bilan chegaralanilsa (5.21) teng­
lamaning chap tomoni quyidagi ko'rinishga keltiriladi ( (5.27) da awal 
koeffitsiyentlarning, keyin esa x ning a va у/ bo'yicha hosilalarining 
yoyilmalari qo'llaniladi):
(On
dy/"
- +