Nazariy fizika kursi

mx
ga ko'paytirilsa u
•M ( 
'i = ~Ao •
(5.9)
x()ning o 'r n ig a (5.8) ni qo'yiladi:
-Aq‘ -
- a
cos
?co s (fty + ф)
124

---

d_
dt
( 
-2
i 
2
й 4^
mx 
kx 
mpx
--- +--- + —-■—
2 
2 
4
= 
0
,
yoki,
m i
2
kx2 mBx4
---- h-- +----- = const
2 
2 
4
(5.11)
ko‘rinishga keltiriladi. Bu — energiyaning saqlanish qonuni, undan 
ko‘rinib turibdiki, amplituda .x(t) yuqoridan chegaralangan va o'z- 
o'zidan o'sib ketavera olmaydi.
Demak, sekular hadni boshqacha tahlil qilish kerak. Muammoning 
yechimi quyidagicha. Qaytatdan (5.3) tenglamani/? bo‘yichabirinchi 
tartibli aniqlikda yozib olamiz:
3u3p
x
о
f
0
+ 
+ р ( ъ +
c o s [3
(cOq! 
+ 
cp)] 
-
cos 
(av 
+ 
(5.12)
-- I
4 
L v ” 
' 'J
4
Oxirgi hadni acQs(&v + 
chap tomoniga o ‘tkazamiz va uni й^л
0
ga qo'shib qo'yamiz:
*
,
З п 2 п Л
,
x 
г 3 '
+-
xn +
аЪ n
*b + 0 ( * i +%2 * i) = —
f- co s[3(cOQt 
+ 

(5.13)
K o ‘rinib turibdiki, yangi chastota
CO = C0U + Р щ =  ft)u +
3/3 
a2
(5.14)
hosil bo'ldi. Natijada, x
0
uchun tenglamani
Л
'0
+ (О~Л‘о ~ ^
(5.15)
ko‘rinishda yozib olishga to‘g‘ri keladi. Albatta, x
0
endi /3 ga bog‘liq 
bo‘lib qoldi, shu sababli u boshqacha belgilandi, ammo bu bog‘liqlik 
oshkora emas, chastota orqali kirgan bog‘liqlikdir: x
0
= x
0
(ft>(j
8
) ) . Bu 
tenglamaning yechimi (5.8) dan farq qiladi:
л
0
= 
acos(cot
+ 
(p). 
(5.16)
jf
0
yechimni shunday qayta aniqlaganimizdan keyin i, uchun tenglama 
quyidagi ko‘rinishga ega boiadi:
A', 
+ 
со2 x, = - — cos [ 3 (cot + cp)] .
a
4
125
(5.17)

---

Bu tenglamaga kelish uchun (5.4) yoyilmani qaytatdan bajarishimiz 
kerak, undagi x
0
hadni Jc„ ga va chastotani ham (y0->foalmashtirishimiz 
kerak. Um umiy qoida bo'yicha bu tenglamaning yechimi
i, = - ^ - T cos[3(a» + 
(5.18)
32 o r
bo'Iadi.
Demak, birinchi yaqinlashuvdagi umumiy yechim
3 
Cl ^ ^3(2~ 
x(t)
= 
acos(o}t + 
— -cos(3cu?+3
о з = ц
) + — — . 
(5 19)
32 
аз'
8
СЦ,
ko'rinishga ega bo'ldi.
Haqiqatda ikkinchi hadning mahrajida a>-^0
deb olish kerak, 
chunki
1 
1
_ 
1
3p a 2
0)2 
co2 + 
40 
4
yoyilmadan ko'rinib turibdiki, ushbu almashtirish bajarilmasa x
2
ga 
kirishi kerak bo'igan hadlarning bir qismini x, ga kiritib qo’ygan bo'lib 
chiqamiz. Shu mulohazani fikrda tutib birinchi tartibli aniqlikdagi 
yechim
, 
Per 
„ 
„ 
3 
P a 2
x ( t )
= 
a COS(lO!
+ 

---
-C O S{J(0t + 3(p). 03 
= 
03q 
4----- . 
/‘5 20)
32ft)j 
8
o*j
deb olinadi.
Olingan natijadagi ikkita muhim o'zgacha xossalarni aytib o'tish 
kerak.
Birinchidan, chiziqli sistemalardan farqli o'laroq nochiziqli sistema­
ning tebranish chastotasi (5.14) tebranish amplitudasiga bog'liq bo'lib 
chiqdi.
Ikkinchidan, yechimda yuqori chastotali tebranish — yuqori gar- 
monika — hosil bo'ldi. Ularning yana bir nomi — kombinatsion chas- 
totalar. Umumiy rnetodga o'tkanimizda ko'ramizki, bu ikkita alohida 
xossa nochiziqli tebranishlar uchun umumiy bo'igan xossalardir, har 
keyingi yaqinlashuv hisobga olinganda chastotaning o'zgarishi yana 
ro'y beraveradi va co. ±

---

yaqinlashuvlarda hosil bo‘lgan chastotalar) yangi kombinatsion chas­
totalar hosil bo'laveradi.
5. /- 
ra.sm. (5.20) ning grafigi: punktirli chiziqlar 
со
va 3
со
chastotali 
tebranishlarga mos keladi, uzliksiz chiziq esa to’liq yechimga mos keladi.