Namangan davlat universiteti informatika kafedrasi hisoblash usullari

2. Taqribiy analitik usullar.
a) Iteratsiya yoki Pikar usuli. (1), (2) ni ushbu Volьter integral tenglamasi ko‘rinishida yozib olamiz:
( 5)
So‘ng, deb olib iteratsiyalar ketma-ketligini tuzamiz:
( 6)
Qisqartirib aks ettirish prinsipiga asosan, agar operator

A:C[a,b] C [a,b]: ,

qisqartirib akslantirish bo‘lsa, ketma-ketlik aniq echimga tekis yaqinlashadi.
Teorema 1. Faraz qilaylik chegaralangan sohada o‘ng tomon f(x,u) Lipshits shartiga bo‘ysinsin:
.
U holda xatolik uchun quyidagi baho o‘rinli:
.
Isbot:֎ (5) dan (6) ni ayiramiz va modulga o‘tamiz:

Bu rekkurent tengsizlikni echamiz. Avvalo,

ekanligidan ketma-ket topamiz:
.֎
Misol 1. Pikar usulini ushbu Koshi masalasiga tadbiq qilamiz:

Ravshanki,

va hokazo. Ko‘rinib turibdiki, sohada qator juda tez yaqinlashadi.
Misoldan ko‘rinadiki, Pikar usuli (6) integral elementar funutsiyalar yordamidagina hisoblansagina yaxshi ishlaydi. Aks holda bu usulni qo‘llash maqsadga muvofiq emas. Pikar usulida Lipщits o‘zgarmasi L ni quyidagicha hisoblash mumkin:
b) yechimni Teylor qatoriga yoyish.
Faraz qilaylik, bo‘lsin, k 0. Aniq echim u(x) ni nuqta atrofida Teylor formulasi bo‘yicha yoyish mumkin:
. (7)
Bu erda hosilalarni (1) tenglamadan topish mumkin:

Topilgan hosilalar nuqtada hisoblanib ( 7) ga qo‘yiladi va qoldiq had tashlab yuboriladi. Natijada, xatolik bilan taqribiy-analitik echim topiladi:
.
Ravshanki, xatolikni desak, ushbu bahoga kelamiz:
.
3 - Amaliy mashg`ulot
Mavzu: Ketma-ket yaqinlashish, Eyler, takomillashgan Eyler usullari.