N. I. Jurayeva Muhammad al-Xorazmiy nomidagi tatu qarshi

ENG KICHIK KVADRATLAR USULI


Oldingi hollarda bevosita o’lchanayotgan yoki bilvosita aniqlanayotgan kattalik bir qator ketma-ket o’lchashlarning hammasida ham o’zgarmasdan turar edi.Ammo o’lchanayotgan kattalikka ta’sir qiluvchi boshqa kattaliklarni o’lchash jarayonida o’zgarishi tufayli uning o’zi ham o’zgarib qoladigan hollar uchrab turadi.bunday hollarda o’lchashning maqsadi izlanayotgan kattalikning boshqa kattaliklar bilan funktsional bog’lanishi eng yaxshi qanoatlantiruvchi qonunni aniqlashdan iborat bo’ladi. Gaz zichligining bosimga, suyuqlik qovushqoqligining temperaturaga va matematik tebrangich tebranish davrining uning uzunligiga bog’lanishini aniqlash va boshqalar shunday o’lchashlarga misol bo’ladi. Bunday o’lchashlar ham tasodifiy o’lchashlarga ega, chunki kuzatish natijalarida statistik chetlanishlar mavjud bo’lib, ular o’zgaruvchan ’’haqiqiy’’ qiymatga nisbatan chetlanishlarni beradi. X o’lchash natijasidan Y izlanayotgan kattalikning bir necha qiymatlari topiladi-ki, bular to’g’ri burchakli koordinata tekisligidagi nuqtalar koordinatasidan iboratdir. Agar bu nuqtalarni ketma-ket bir-biri bilan tutashtirsak, siniq chiziq hosil bo’lib, u biz izlayotgan Y=f(x) bog’lanishni aks ettirmaydi. Maqsad tajribaviy nuqtalardan foydalanib, Y=f(x) haqiqiy bog’lanishni ifodalovchi chiziqni hosil qilishdir. Ehtimollik nazariyasining ko’rsatishicha, bunday chiziq uchun nuqtalardan chiziqqacha tushirilgan tik chiziqning uzunligi bilan aniqlanuvchi masofa kvadratlarining yig’indisi minimal bo’lishi kerak. Bu usul eng kichik kvadratlar usuli deb ataladi. Bu usulning mohiyati quyidagicha: nazariy mulohazalarga asosan matematik tebrangich davrining kvadrati uning uzunligiga tug’ri mutanosib, deyish mumkin. SHuning uchun tajribadan olingan nuqtalarning eng yaxshi qanoatlantiruvchi chiziq tug’ri chiziqdan juda kam farq qilishi kerak. Agar nuqtaning abstsissasini X₁ deb, ordinatasini Y₁ deb belgilasak, u holda izlanayotgan to’g’ri chiziq tenglamasi
Y₁=a+bX₁ (8)
ko’rinishda bo’ladi. Bu (8) izlanayotgan to’g’ri chiziq tenglamasini eng kichik kvadratlar usuli bo’yicha aniqlash quyidagicha bajariladi: ordinatasi Y₁ ga teng bo’lgan nuqtalardan izlanayotgan to’g’ri chiziqqacha ordinatalar o’tkazamiz. Bu to’g’ri chiziq ordinatalarning qiymati a+bX₁ ga teng. Nuqtadan ordinata bo’yicha to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofa esa (a+bX_i -Y_i )=ε_i ga teng.
Agar bunday masofalar kvadratlarinnig yig’indisi eng kichik, ya’ni
(9)
bo’lsa, to’g’ri chiziq biz izlayotgan to’g’ri chiziqqa eng yaqin keluvchi chiziq bo’ladi, deb faraz qilish mumkin. Bu yig’indining minimumi differentsial qoidalariga asosan topiladi. (9) tenglamadagi a va b koeffitsientlar o’zgaruvchan kattaliklar bo’lib, ular uchun shunday qiymatlarni aniqlash kerakki, bu qiymatlar (9) ni to’la qanoatlantirsin. Buning uchun (9) dan a va b o’zgaruvchilar bo’yicha xususiy xosilalar olib, ularni nolga tenglashtirsak

ifodalarni olamiz. Bularni shunday yozish mumkin.

Yig’indi ichidagi qavsni ochib chiqsak
(10)
(10) ifodani (8) boshlang’ich tenglamaning normal tenglamalari deyiladi.
Bu normal tenglamalar muayyan usul bo’yicha tuziladi.(10) ko’rinib turibdiki:
1) ning a uchun yozilgan normal tenglamsini hosil qilish uchun (8) boshlang’ich tenglamani har birining chap va o’ng tomonlarini a ning oldida turgan koeffitsientga ko’paytirib, hosil bo’lgan tenglamalarni yig’ib chiqish kerak.
2) (10) ning b ga tegishli normal tenglamasini hosil qilish uchun huddi oldingiga o’xshash (8) ning chap va o’ng tomonining b ning oldidagi koeffitsientga ko’paytirib, hammasini yig’ib chiqish kerak. Bu normal tenglamalardan foydalanib (8) boshlang’ich tenglamadagi noma’lum a va b koeffitsientlarni aniqlash mumkin. Bu noma’lum koeffitsientlarni aniqlash usullari hilma-hildir. (10) dan a ni aniqlash uchun birinchi yo’lga b ning normal tenglamasini yozamiz, ikkinchi yo’lni bo’sh qoldirib, uchinchi yo’lga a ga tegishli normal tenglamani yozamiz. Bo’sh qoldirilgan ikkinchi yo’lga b ning normal tenglamasini b oldidagi koeffitsientga bo’lishdan hosil bo’ladigan tenglamani yozamiz. Ikkinchi yo’ldagi tenglamani b ning normal tenglamasidagi a ning koeffitsienti ga ko’paytirishdan hosil bo’ladigan tenglama to’rtinchi yo’lga yoziladi. Aytilganlarni bajarib ko’raylik:



Agar uchinchi tenglamadan to’rtinchi tenglamani ayirsak,

Tenglik hosil bo’ladi, bundan izlanayotgan a koeffitsient topiladi:
(11)
a ning oldidagi R_a koeffitsientga a ning statistik vazni deb ataladi. b ni aniqlash uchun birinchi yo’lga a normal tenglamasini yozamiz. a uchun yozilgan birinchi yo’ldagi tenglamani a ning oldidagi n koeffitsientga bo’lishdan hosil qilingan tenglamani bo’sh qoldirilgan ikkinchi yo’lga yozamiz. a ning normal tenglamasidagi b ning koeffitsienti ga ikkinchi yo’ldagi tenglamani ko’paytirishdan hosil bo’ladigan tenglama to’rtinchi yo’lga yoziladi. Aytilganlarni bajarsak:

Uchinchi yo’ldan to’rtinchi yo’lni hadma-had ayirsak:

Bundan izlanayotgan b koeffitsient
(12)
ga tengligi kelib chiqadi. b oldidagi P _b koeffitsient b ning statistik vazni deb ataladi. (10) bilan ifodalanufchi normal tenglamalar tizimini birgalikda echib, a ni aniqlashda unig normal tenglamasi ustida hech qanday matematik amal bajarilmaydi, b ning normal tenglamasi ustida hech qanday matematik amal bajarilmaydi, b ning normal tenglamasi ustida esa bo’lish va ko’paytirish amallari bajariladi.Aksincha, b yni aniqlashda uning normal tenglamasi o’zgarishsiz qoldirilib, a ning normal tenglamasi ustida bo’lish va ko’paytirish amallari bajariladi. (10) tenglamalarning echimlari (11) va (12) dan iborat. Ulardan aniqlangan a va b ni (8) ga qo’ysak, tajriba natijalaridan juda kam farq qiluvchi izlanayotgan to’g’ri chiziq tenglamasi topiladi. Xatoliklar nazariyasi a va b noma’lumlarni aniqlashdagi xatoliklarni xisoblash uchun quyidagi ifodalarni beradi:
va
bunda k – normal tenglama (10) dagi yoki boshlang’ich tenglama (8) dagi noma’lumlar — bizning misolimizda a va b lar soni (k=2).
Ma’lumki, har qanday bog’lanish to’g’ri chiziqli bog’lanish bo’lavermaydi. Lekin ko’p hollarda murakkab bog’lanishlarga sodda almashtirishlar kiritish orqali bog’lanishni chiziqli ko’rinishga keltirish mumkin. Masalan:
1) Agar Y=l+k/X bo’lsa, bundagi 1/X o’rniga yangi Z o’zgaruvchi kiritsak, Y va Z orasidagi bog’lanish Y=l+kZ chiziqli ko’rinishga keladi.
2) Xuddi shuningdek, agar Y=ab^X ifodani logarifmlasak, lgY=lga+Xlgb bo’lib, undagi lgY va X orasidagi bog’lanish chiziqli ko’rinishga keladi.
3) Y=1/(a+bX) ifodada Y=1/Z deb almashtirsak, Z=a+bX hosil bo’ladi.
4) Y=a+b/X+c/X² ifodada Z=1/X deb almashtirilsa, u holda Y=a+bZ+cZ² bo’ladi.
5) Y=X/(a+bX+cX²) ifodada Z=X/Y almashtirish bajarilsa, Z=a+bX+cX² ifoda hosil bo’ladi.
Bajarilgan ish to`g risidagi hisobotni quydagicha rasmiylashtirishni lozim deb hisobladik:

1. 
   Ishning nomi.
   
2. 
   Ishning maqsadi.
   
3. 
   Chizma (agar zarur bo`lsa).
   
4. 
   Izlanayotgan miqdorlarning va ularning xatoliklaining fomulalari.
   
5. 
   Olchash va hisoblash natijalarining jadvali.
   
6. 
   Ohirgi natija, xulosa.