Bob. Maksimal 1 va minimal qiymatlarni va eskiz grafikalarini topish uchun birinchi hosiladan foydalangan holda differentsiatsiyani qo'llash

198 2-BOB. Maksimal 2.1 va minimal qiymatlarni va eskiz grafikalarini topish uchun birinchi hosiladan foydalangan holda differentsiatsiyani qo'llash. Quyidagi grafik chakana mahsulotning odatdagi hayot aylanishini ko'rsatadi va biz ushbu bobda ko'rib chiqadigan grafiklarga o'xshashdir. Sotilgan buyumlar soni vaqtga qarab o'zgarib turishini unutmang. Savdolar kichik darajadan boshlanadi va maksimal sotish darajasiga ko'tariladi, shundan so'ng ular past darajaga tushib, pasayish ehtimol yangi raqobatbardosh mahsulotlarning ta'siri tufayli yuzaga keladi. Keyin kompaniya yaxshilanishlarni amalga oshirish orqali mahsulotni yoshartiradi. Ayrim mahsulotlarning versiyalari haqida o'ylab ko'ring: televizorlar an'anaviy, tekis ekranli yoki yuqori aniqlikdagi bo'lishi mumkin, musiqa yozuvlari fonograf (viny) yozuvlar, audio lentalar, kompakt-disklar va MP3-lar sifatida ishlab chiqarilgan. Ushbu mahsulotlarning har biri odatdagi mahsulot hayot tsiklida qaerda bo'lishi mumkin? Har bir mahsulot uchun egri chiziq mos keladimi? MAKSADLAR • Birinchi hosila testi yordamida uzluksiz funktsiyalarning nisbiy ekstremalarini toping. • Uzluksiz funktsiyalarning eskiz grafikalari. MAHSULOTLARNING HAYOT CYCLE tuimdnnan Gnth Mat Time Funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish, ya'ni maksimal va minimal qiymatlari keng qo'llanmalarga ega. Funktsiyaning birinchi va ikkinchi hosilalari - bu grafika funktsiyalarida foydalanishimiz va minimal va maksimal qiymatlarni topishimiz uchun ma'lumot beradigan hisoblash vositalari. Ushbu bo'lim davomida biz, agar boshqacha ko'rsatilmagan bo'lsa, barcha funktsiyalar uzluksiz deb hisoblaymiz. Biroq, funktsiyaning uzluksizligi uning birinchi va ikkinchi hosilalari uzluksiz bo'lishiga kafolat bermaydi. Funksiyalarni ko'paytirish va kamaytirish Agar funktsiya grafigi 1 oraliqda chapdan o'ngga ko'tarilsa, funktsiya L. YA Kalning ko'payishi yoki ortib boruvchi funktsiyasi A ning a, h ning 1 ga ko'payishi deyiladi. , agar acb bo'lsa, u holda fla h). 21. Maksimal va minimal qiymatlarni topish va eskiz grafikalarini topish uchun birinchi hosilalarni ishlatish 199 Agar grafik chapdan o'ngga tushsa, funktsiya kamayadi yoki ortadi, deyiladi. 1. TEXNOLOGIYA BOG'LANIShI Explorative Dicng y = - '+ ox- funktsiyasini chizma. Ilx - 50 va uning hosilasi y '= -x + 12x - 11 oyna-10, 25, - 100, 150] yordamida, Xscl - 5 va Ysel - 25 bilan, keyin har bir grafika bo'ylab chapdan o'ngga TRACE. Kursorni chapdan o'ngga siljitganda, x-koordinataning har doim ortib borishini unutmang. Agar funktsiya oralig'ida o'sib borsa, y koordinatasi ham ko'payadi. Agar funktsiya oraliqda kamayib borsa, y koordinatasi kamayadi. $ a $ ning kamayishi funktsiyasi $ t $ ga nisbatan a, b $ 1da, agar $ aeb $ bo'lsa, u holda $ gla)> gb) $. Funktsiya qaysi intervallarda ko'paymoqda? Funksiya qaysi intervallarda kamayib bormoqda? Qaysi intervallarda hosila ijobiy hisoblanadi? Qaysi intervallarda lotin manfiy hisoblanadi? Ushbu hodisalarni matematik tarzda quyidagicha tavsiflashimiz mumkin. TA'RIFLAR Siz y 'belgisini y harakatiga bog'liq qanday qoidalarni taklif qila olasiz? Agar funktsiya / l dan oshsa, agar har bir a va b uchun 1 bo'lsa, a f (b). ). (Agar kirish a kirishdan b kirishdan kam bo'lsa, unda chiqadigan narsa chiqishga nisbatan katta bo'ladi.) Yuqoridagi ta'riflarni sekant chiziqlar nuqtai nazaridan qayta ko'rib chiqish mumkin. Agar grafik 1 oralig'ida o'sib borsa, unda al a va b uchun I 0. (b) - f (a) <0. Ortib bormoqda: kamayish b-a b-a

Ju seka Nishab Nishab ul eca ohak i ut hine berdi, ijobiydir Quyidagi teorema biz funktsiyani oshirish yoki kamaytirishni aniqlash uchun lotinni (tanent chiziqning qiyaligi) qanday ishlatishni ko'rsatadi 2-BOB. Differentsiatsiya nazariyasining qo'llanilishi 1 Agar 1 ochiq oraliqdagi barcha x lar uchun f '(x)> 0 bo'lsa, u holda / I oshib boradi. 1 x ochiq oraliqdagi barcha x lar uchun Iff (x)

TA'RIFI Funktsiyaning kritik qiymati / (f. (C)) da teginish chizig'i gorizontal bo'lgan yoki hosilasi mavjud bo'lmagan f lor sohasidagi har qanday c sonidir. Agar $ f (e) $ mavjud bo'lsa va $ L '() = 0 $ yoki $ l' (c) $ mavjud bo'lsa, $ e $ tanqidiy qiymatdir. Shunday qilib, I-rasm grafasida: 1. 1, 6z.4, G. va ca kritik qiymatlardir, chunki har bir qiymat uchun f "(s) = 0. 2. Gk va c, kritik qiymatlar, chunki f ' () har bir qiymat uchun mavjud emas. Shuni ham unutmangki, uzluksiz funktsiya faqat kritik qiymatda o'sishdan kamayishga yoki kamayishdan o'sishga o'zgarishi mumkin. 1. shaklidagi grafada, C C4.Ce va er funktsiya o'sishdan kamayib borishga yoki kamayishdan ortib borishga o'zgaradigan intervallarni ajratib oling, c va cg muhim qiymatlar bo'lishiga qaramay, ular funktsiya o'sishdan to pasayishga yoki kamayishdan ortib borishga o'zgaradigan intervallarni ajratib turing. Nisbiy maksimal va minimal qiymatlarni topish Endi 2-rasmdagi grafikani ko'rib chiqing. Ichki nuqtalardagi "tepaliklar" va "vodiylar" ga e'tibor bering. 6z va cy. Absobute Maxima nimu Alsolute snininum Rulame Minima 2-rasm. nisbiy maksimal (płural maxima) misoli.F (c) va f () ning har biri nisbiy minimal (ko'plik: minima) deyiladi. Mahalliy maksimal va mahalliy minimal atamalaridan ham foydalaniladi TA'RIFLAR F (e) ning sohasi bo'lsin, agar I ichida I oraliq I oralig'i mavjud bo'lsa, unda barcha x uchun f (c) s (x) mavjud bo'lgan nisbiy minimal hisoblanadi. 1-da: va ((e) nisbiy maksimal hisoblanadi, agar I'an ichida C mavjud bo'lgan f l (c) a (x) ni tashkil etadigan l oraliq oralig'i mavjud bo'lsa, chunki barcha x in l Nisbiy maksimalni erkin deb o'ylash mumkin 1. tepalikdagi eng yuqori nuqta bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin bo'lgan "tepalik" ning ikkinchi koonlinatasi. Shunga o'xshab, nisbiy minimal 202-bob. Differentsiatsiyani qo'llash, u "vodiy" ning ikkinchi koordinatasi deb o'ylagan bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin. I ning eng past nuqtasi bo'ling. Eng yuqori va eng past interval bo'lgan nuqtalarning ikkinchi koordinatalari, tegishlicha, absolyut maksimal va mutlaq minimaldir. Hozircha biz nisbiy maksimal yoki minimal qiymatlarni topishga e'tibor qaratamiz Tuv nisbiy ekstremma sifatida (singular: extremum). 2-rasmdagi grafaga yana qarang. h uzluksiz funktsiya nisbiy ekstremaga ega bo'lib, ular uchun lotin 0 ga teng yoki ular uchun hosila mavjud bo'lmagan qiymatlar muhim qiymatlardir. 2-TEOREMA Agar funktsiya / ochiq oraliqda f (c) nisbiy ekstremal qiymatga ega bo'lsa, u holda kritik qiymat, shuning uchun rt) - 0 yoki f (e) mavjud emas, Nisbatan haddan tashqari nuqta, (e. ( c)), c ni o'z ichiga olgan ba'zi bir ochiq oraliqdagi barcha boshqa nuqtalardan yuqori yoki pastroq. Nisbatan minimal nuqta uning chap va o'ng tomonidagi nuqtalardan pastroq bo'lgan y qiymatiga ega bo'ladi va shunga o'xshash nisbiy maksimal nuqta ballardan yuqori y qiymatga ega bo'ladi. chapga va o'ngga. Shunday qilib, nisbiy ekstremma yopiq intervalning so'nggi nuqtalarida joylashgan bo'lishi mumkin emas, chunki so'nggi nuqta kerakli taqqoslashlarni amalga oshiradigan "ikkala tomoni" yo'q. Biroq, 2.4-bo'limda ko'rib turganimizdek, so'nggi nuqta mutlaq ekstremma bo'lishi mumkin. Shakl 2da egri chiziqning o'ng so'nggi nuqtasi mutlaq maksimal nuqtadir. Teorema 2 juda zo'r, ammo uni juda chuqur anglash kerak, chunki aytilganidek, nisbiy ekstremma topish uchun biz faqat $ denva tive $ u $ mavjud bo'lmagan $ $ ar $ bo'lgan uchta kirishni ko'rib chiqamiz. Kritik qiymatni nisbiy ekstremal yuzaga kelishi mumkin bo'lgan qiymatga nomzod sifatida ko'rib chiqishimiz mumkin. Ya'ni, 2-teorema har bir kritik qiymat nisbatan maksimal yoki minimal natijaga erishishini aytmaydi. Masalan, o'ngda ko'rsatilgan J (x) - (x- 1) '+ 2 grafigini ko'rib chiqing. L '(x) - 3 (x - 1) ekanligini unutmang. (1, 2) va ra) = 3 (1 - 1) = 0. Funktsiya kritik qiymat sifatida e = 1 ga ega, ammo bu qiymatda nisbiy maksimal yoki minimal bo'lmaydi. Teorema 2, agar nisbiy maksimal yoki minimal ro'y bergan bo'lsa, u holda ushbu ekstremumning birinchi koordinatasi kritik qiymat bo'lishini aytadi. Kritik qiymatning mavjudligi bizni nisbiy ekstremumga olib borishini qanday aniqlashimiz mumkin? Quyidagi grafik bizni sinovga olib boradi.

Nisbatan masimun lelativ inaksimum Nisbiy minimal Relatve minimum minimallashtirish kamayishi Decmaung InTTaning Deurnasing 2.1. Maksimal va minimal qiymatlarni va eskiz grafikalarini topish uchun birinchi denivativlardan foydalanish 203 Shuni e'tiborga olingki, nisbiy minimal bo'lgan kritik qiymatda funktsiya kritik qiymatning chap tomoniga kamayadi va o'ngga ko'tariladi. Nisbatan maksimal bo'lgan kritik qiymatda funktsiya kritik qiymatdan chapga, o'ngga kamayib boradi. Ikkala holatda ham, lotin muhim qiymatning har ikki tomonidagi belgilarni o'zgartiradi. X (a, c) x uchun x (c, b) oralig'idagi (a, b) oralig'idagi grafik f '(x) belgisi f "(x) belgisi ortishi yoki kamayishi (a,) ga kamayish: o'sish on (cb) Nisbiy minimal (a,) ga nisbatan nisbiy o'sish: (.b) +] maksimumga kamayish nisbiy yo'q (a, b) maxima yoki minima bo'yicha kamayish Nisbatan yo'q (a, h) maxima va minima bo'yicha ko'payish Hosilalar bizga aytadi. funktsiya ko'payib yoki kamayib ketganda, bu bizni Birinchi hosila testiga olib boradi 3-NAZARIYA Nisbiy ekstremma uchun birinchi hosila testi (f, 1) ochiq oralig'ida to'liq bitta muhim qiymatga ega bo'lgan har qanday f doimiy funktsiya uchun. . f (a, e) bo'yicha f'x) 0 (c, b) ga nisbatan e ga nisbatan minimal qiymatga ega. Ya'ni fis c ning chap tomoniga kamayib, ga ko'tariladi. c ning o'ng tomoni. F2. f e (a, c) va '"(x) <0 ga (e, b) teng bo'lsa, e da nisbiy maksimalga ega. Ya'ni, fis c ning chap tomoniga o'sib, e ning o'ng tomoniga kamayadi. F3. / agar (', x) lus (a,) da (c, b) bilan bir xil belgi yo'q bo'lsa, e da nisbiy maksimal yoki nisbiy minimal bo'lmaydi. . Keling, nisbiy ekstremani topish va aniq grafikalar yaratish uchun Birinchi Derivativ Testdan qanday foydalanishimiz mumkinligini ko'rib chiqamiz. 204 2-BOB Differentsiatsiyaning qo'llanilishi I O'RNAK1 (x) - 2x - 3- 12x + 12 tomonidan berilgan f funktsiyasini grafikaga kiriting va nisbiy ekstremani toping. Qaror, biz ushbu funktsiyani grafigini tuzishga harakat qilyapmiz, ammo hech qanday hisob-kitobni bilmaymiz. Biz nima qila olamiz? Grafika qaysi tomonga burilib ketayotganini aniqlash uchun bir nechta fikrlarni tuzishimiz mumkin. Keling, x-qiymatlarni tanlaymiz va nima bo'lishini ko'rib chiqamiz J (x) 4, 44) 40 -33 30 1-1 19) -2 (-2,) a. 12 19 12 -10 (2 -20 -1 (, -33), -30 2. 4. 44

Ballarni chizamiz va ularni yuqoridagi rasmda chiziq chizig'i sifatida ko'rsatilgan "hest tahmini" ning eskizini tuzishda foydalanamiz. Ushbu qo'pol eskizga ko'ra, grafada x = -1 va x = 2 atrofida 0 nishab bilan teginish chizig'i bor ekan. Ammo qanday qilib biz buni aniq bilamiz? Kuzatuvlarimizni qo'llab-quvvatlash uchun hisob-kitoblardan foydalanamiz. Biz re) = 6x - ox - 12. hosilalarining umumiy ifodasini topishni boshlaymiz, keyin qaerda / '(x) mavjud emasligini yoki f' (x) = 0 ni aniqlaymiz. '(x) = 6x - 6x - 12 har qanday haqiqiy son uchun, f' (x) mavjud bo'lmagan qiymat yo'q. Shunday qilib, muhim qiymatlarning yagona imkoniyatlari f '(x) = 0, gorizontal teginishlar joylashgan joylardir. Bunday qiymatlarni topish uchun biz f (x) = 0 6x - 6x - 12 = 0 x- x- 2 = 0 ikkala sadani 6 (x + 1) (x - 2) = 0 ga bo'linishini echamiz x + 1 = 0 yoki x-2 = 0 Zeso Prodits X = -1 yoki * = 2. printsipini llsing. Kritik qiymatlar -1 va 2 ga teng. Aynan shu qiymatlarda nisbiy maksimal yoki minimal bo'lishi mumkin, shuning uchun biz intervallarni tekshiramiz kritik qiymatlarning har bir tomoni: A (- 00, -1). B (-1, 2), va C (2, 00), quyida ko'rsatilgandek. Keyinchalik, har bir intervalda lotin belgisini tahlil qilamiz. Agar f '(x) oraliqdagi bitta qiymat uchun ijobiy bo'lsa, u holda bu intervaldagi barcha qiymatlar uchun ijobiy bo'ladi. Xuddi shunday, agar u bitta qiymat uchun manfiy bo'lsa, u intervaldagi barcha qiymatlar uchun manfiy bo'ladi Shunday qilib, biz cach intervalidagi test qiymatini tanlaymiz va almashtirishni amalga oshiramiz. Biz tanlagan test qiymatlari -2, 0 va 4. 21. Birinchi Dervativlardan foydalanib, maksimal va minimal qiymatlarni va Shrtch grafikalarini 205 A toping: Test - 2, (-2) = 6 (-2) - 6 (-2) ) - 12 = 24 + 12 - 12 = 24> Sinov 0, f '(0) = 6 (0) - 6 (0) - 12 = -12 <0; C Sinov 4. '(4) = 6 (4) - 6 (4) - 12 B: = 96 - 24 -12 60> 0 A oraliq sinov qiymati f' (x) T-2)> 0 r ( 0) 0 fis (-1,2) f ga kamayib, (2, 00) ga ko'paymoqda. Fis (-0, -1) ga o'zgarib o'zgarishi O'zgarish nisbiy maksimalni bildiradi. elativ mininumni litsenziyalaydi, shuning uchun Birinchi hosila testi bo'yicha (-1) = 2 (-1) - 3 (-1) - 12 (-1) + 12 Sahautuung tomonidan berilgan x = -1 da nisbiy maksimal bo'ladi. original funktsiya = 19 Bu telifik maimum va f (2) = 2 (2) - 3 (2) - 12 (2) + 12 = -8 tomonidan berilgan x = 2 da nisbiy minimumga ega. Bu ia nisbiy minum Shunday qilib, (-1, 19) da nisbiy maksimal va (2.-8) da nisbatan minimal bo'ladi, chunki biz grafika eskizidan gumon qildik. Birinchi hosiladan olingan ma'lumotlar funktsiya grafigini chizishda juda foydali bo'lishi mumkin. Biz bu polinom uzluksizligini bilamiz va funktsiya qaerda o'sib borishini, qaerda kamayib borishini va qaerda o'ziga xos ekstremaga ega ekanligini bilamiz. Biz ba'zi bir qo'shimcha funktsiyalar qiymatlarini yaratish uchun kalkulyator yordamida hy grafigini to'ldiramiz. Quyida qizil rangda ko'rsatilgan funktsiya grafigi uning egri tabiatini aniq ko'rsatish uchun masshtablangan bo'lib, TEXNOLOGIYA BOG'LANIShI Ja-f 12 quyidagicha) - 2 - 1. 12 40 kashfiyotchi Relauve masimum 10 (-1, 19) 20 ((x) = x - 3x + 2. Bir xil o'qlar to'plamidan foydalanib ikkala fandning ham grafigini ko'rsating, jadvallarni TABLE va TRACE xususiyatlaridan foydalanib o'rganing. ((X) ning nisbiy ekstremasi qayerda sodir bo'ladi?) hosilasi 0 ga tengmi? f (x) ning kritik qiymatlari qayerda? -1 12 -8) -20 Belanve minimum 30 ortib borayotgan kamayishi ortib borishi 206-BOB 2. Differentsiatsiyaning qo'llanilishi Ma'lumot uchun, lotin grafigi ko'rsatilgan ko'k.F (x) = 0 bo'lgan joyda f (x) nisbiy ekstremaga ega ekanligiga e'tibor bering.Biz ushbu funktsiyani ko'tarilishini yoki kamayishini qayd etib, uning muhim nuqtalarini tavsiflab quyidagicha xulosa qilamiz: • f funktsiyasi (-00, -1) oralig'ida o'sib bormoqda

Ma'lumot uchun, lotin grafigi ko'k rangda ko'rsatilgan. E '(x) = 0 ga e'tibor bering, bu erda S (x) nisbatan ekstremaga ega. Ushbu funktsiya xatti-harakatini quyidagicha qisqartiramiz, u qaerda o'sib borayotgani yoki kamayganligini ta'kidlab, uning tanqidiy nuqtalarini tavsiflab: • f funktsiyasi (-o, -1) oralig'ida ortib bormoqda. • f funktsiyasi (-1, 19) nuqtada nisbiy maksimalga ega. • f funktsiyasi (-1, 2) oralig'ida kamayib bormoqda. • f funktsiyasi (2, -8) nuqtada nisbiy minimumga ega. • f funktsiyasi (2, 0) oralig'ida ortib bormoqda. > Tezkor tekshirish 1 g (x) = x - 27x - 6 tomonidan berilgan g funktsiyasini grafikaga kiriting va nisbiy ekstremani toping. (Tezkor tekshiruv 1 Intervalli yozuv va nuqta yozuvlari bir-biriga o'xshash. Interval yoki nuqtani aniqlaysizmi, javoblaringizni aniqlang. F funktsiyasini grafikalash uchun birinchi hosiladan foydalanish uchun 1. F (x) ning qaerdaligini aniqlab, barcha muhim qiymatlarni toping. ) O, va f (x) aniqlanmagan (lekin f (x) aniqlangan) bo'lsa, kesh kritik qiymat uchun f (x) ni toping 2. X o'qini intervallarga bo'lish uchun kritik qiymatlardan foydalaning va a ni tanlang 3. kesh oralig'idagi sinov qiymati 3. 2-bosqichda tanlangan keshning sinov qiymati uchun f '(x) belgisini toping va ushbu ma'lumotdan f (x) qaerda o'sib yoki kamayayotganligini aniqlash uchun va har qanday ekstremani nisbiy maksimal deb tasniflash uchun foydalaning. 4. Qo'shimcha nuqtalarni belgilang va grafigini eskizlang. f 'hosilasi f ning kritik qiymatlarini topish uchun ishlatiladi. Sinov qiymatlari f' lotiniga almashtiriladi va funktsiya qiymatlari asl f I funktsiyasini topishda topiladi. O'RNAK 2 f (x) = 2x - x tomonidan berilgan f funktsiya nisbiy ekstremmasini toping Keyin grafikani chizib oling. n Birinchidan, biz kritik qiymatlarni aniqlashimiz kerak Buning uchun f '(x) ni topamiz: l' (x) - 6x - 4x. Keyin f '(x) mavjud bo'lmagan joyni yoki f "(x) = 0 ni topamiz. F' (x) = ox - 4x' ko'pburchak bo'lgani uchun u barcha haqiqiy x lar uchun mavjud. Shuning uchun yagona muhim qiymatlarga nomzodlar f '(x) = 0, ya'ni teginish chizig'i gorizontal bo'lgan joyda: 6x - 4x = 0 Sening /' (N) cqual ta 0 Zx (3 - 2x) = 0 Faktoring 2x = 0 yoki 3- 2x = 0 x = 0 yoki 3 = 2x X = 0 yoki x = Kritik qiymatlar 0 ga teng va biz ushbu qiymatlarni x o'qini uchta intervalga ajratish uchun quyida ko'rsatilgandek foydalanamiz: A (- 0, 0); B (0.); va Cis (o0) .F) = 2 (- 0) * = va f (o) = 2.0 - o * = 0 ekstremma% 3D 21. ekanligini unutmang. Maksimal va minimal qiymatlarni topish uchun birinchi hosilalar va eskiz grafikalarini 207 Endi biz har bir intervalda hosila belgisini har bir oraliqda sinov qiymatini tanlab va almashtirish orqali aniqlaymiz, biz odatda f '(x) ni hisoblash uchun sinov qiymatlarini tanlaymiz. A: Sinov -1, f '(- 1) = 6f -1) - 4 (-1) = 6 + 4 = 10> 0; B Sinov 1, f (1} = 6 (1) - 4 ( 1) = 6 -4 = 2> 0; C. Sinov 2, (2) = 6 (2) - 4 (2) = 24 - 32 = -8 0 Lu)> 0 f (2) <0 f (-0,0 ) fis (a) ga ko'payib, fis (0) ga kamayadi, natijada LNio o'zgarishi - L o'zgarishi selektiv maksimal ko'rsatkichni belgilaydi, shuning uchun birinchi hosila testida f ning x = 0 da ekstremumi yo'q (chunki f (x) ikkala tomonda ham ortib bormoqda) ning 0) va nisbiy maksimal x ga teng = Shunday qilib, f), yoki nisbiy maksimal hisoblanadi. Olingan ma'lumotni quyidagi grafikni chizish uchun ishlatamiz Boshqa funktsiyalar qiymatlari jadvalda keltirilgan. Relan f (x). taxminan munaman -3 -0.5 (0, a -0.31 Relatine eXIemum 05 0.19 emas

2.2 Maksimal va minimal qiymatlarni va eskiz grafikalarini topish uchun ikkinchi hosilalarni ishlatish Grafikning "burilish" harakati uning konkavligi deb ataladi. Ikkinchi lotin funktsiya grafigi konkavini tahlil qilishda hal qiluvchi rol o'ynaydi. MAKSADLAR • Ikkinchi hosilali test yordamida funktsiyalarning nisbiy ekstremallarini tasniflang • Uzluksiz funktsiya grafigini eskizlang. Konkav: hosilalarning ko'payishi va kamayishi Ikki funktsiya grafikalari quyida keltirilgan. $ F $ grafasi yuqoriga, $ g $ grafigi pastga aylanmoqda Keling, ushbu kuzatishlarni hosilalar funktsiyalari bilan bog'lashimiz mumkinligini ko'rib chiqamiz. Avval f ning grafasini ko'rib chiqing. Chiziq bo'ylab chapdan o'ngga siljiganingizda chizg'ichni oling yoki tekislang va teginish chiziqlarini torting, nozik chiziqlar yonbag'irlarida nima bo'ladi? $ G $ grafigi uchun ham xuddi shunday qiling. Egrilikka qarang va naqshni ko'rasizmi yoki yo'qmi degan qarorga keling. aldash f ning grafigi uchun teginuvchi chiziqlarning qiyaliklari ko'paymoqda. Ya'ni, bu intervalgacha ko'paymoqda. Buni f "(x) ijobiy ekanligini ta'kidlash bilan aniqlash mumkin, chunki f 'va f" o'rtasidagi munosabatlar f va f' o'rtasidagi munosabatlarga o'xshaydi. $ F $ uchun barcha teginish chiziqlari grafaning ostidadir. G grafigi uchun qiyaliklar kamayib bormoqda. Buni g "(x) manfiy bo'lganida g 'kamayib borishini ta'kidlash bilan aniqlash mumkin. G uchun barcha teginuvchi chiziqlar grafig ustida joylashgan. TA'RIF. Agar fia funktsiyasi ochiq oraliqdagi har bir nuqtada mavjud bo'lgan funktsiyani amalga oshiraylik. fa concave up on ld fn concave down on l Sudrereasing over Quyidagi teorema, funktsiyalar grafigi va funktsiyaning ikkinchi darajali hosilasi qanday bog'liqligini bildiradi. 4-NAZORA A konkavitlik uchun test 1. ff "(x)> 0 I intervalda f ning grafasi yuqoriga qarab yuqoriga ko'tarilgan ('ortib bormoqda, shuning uchun fis L ga o'girilib) 2. Agar "(x) <0 1 intervalda bo'lsa, u holda f ning grafasi pastga botiq bo'ladi. ( 'kamayib bormoqda, shuning uchun 1), 2,2 Ikkinchi hosilalardan foydalanib, maksimal va minimal qiymatlarni va eskiz grafikalarini topish uchun 217 Funktsiya kamayishi va konkav, kamayishi va konkav, ortishi va konkav bo'lishi mumkinligini yodda tuting. yuqoriga, yoki ortib boruvchi va botiq pastga tushadigan, ya'ni konkavlik va o'sish / kamayish mustaqil tushunchalar, bu o'sish hosilaning ng yoki kamayuvchi tomoni, bu bizga J '(x) <0 J' (x)> 0 S "(x) <0 funktsiya konkavtligi haqida aytadi. Inereaning Cancatve down Deceaning "(x)> 0 Cimune p Demizing Concane p Itereaing TEXNOLOGIYA BOG'LANISh Kashfiyotchi chizig'ini chizib oling Endi S (x) = -x '+ 6x-11x-50 S' (x) = -x + 12x - 11 va uning ikkinchi hosilasi, ikkinchi hosilasi S "(x) = -2x + 12,) = -2x + 12 ko'rish oynasi yordamida [-10, 25, - 100, 150], Xscl = 5 va Yscl = 25. ko'rish oynasi yordamida [- 10, 25, -200, 50], Xscl = 5 va Vscl 25 bilan. F grafasi qaysi intervallarda yuqoriga ko'tarilgan? F konkav grafigi qaysi intervallarda pastga tushiriladi? "Ijobiy?" Ning grafigi qaysi intervallarda salbiy hisoblanadi? Birinchi hosila f "qaysi intervallar bo'yicha ko'paymoqda? Birinchi hosila '' qaysi 'intervallar bo'yicha kamaymoqda? Musbat grafigi qaysi intervallar bo'yicha? Ofr ning grafigi qanday intervallar bo'yicha? Siz nimani taxmin qilishingiz mumkin? Siz nimani taxmin qilishingiz mumkin? Ikkinchi hosilalar yordamida nisbiy ekstremani tasniflash Keling, qanday qilib funktsiya ochiq intervalda relyefiv ekstremumga ega ekanligini aniqlash uchun ikkinchi hosilalarni qanday ishlatishimiz mumkinligini ko'rib chiqamiz.

Ikkinchi hosilalar yordamida nisbiy ekstremalarni tasniflash Keling, qanday qilib funktsiya ochiq intervalda relyefiv ekstremumga ega ekanligini aniqlash uchun ikkinchi hosilalarni qanday ishlatishimiz mumkinligini ko'rib chiqamiz. Quyidagi grafikalar ikkala konkav turini kritik qiymatda ko'rsatadi (bu erda l '(c) - 0). Kritik qiymatda ikkinchi hosila ijobiy bo'lsa (grafak konkav), kritik nuqta nisbatan minimal nuqta, ikkinchi hosila manfiy bo'lganda (graf konkav pastga) kritik nuqta nisbiy maksimal nukta bo'ladi. 218 2-BOB. Differentsiatsiyaning qo'llanilishi Terrfor guruhi. The Teroreore bir utateve minim di ond. wa eslae maninum Ushbu tahlil 5-teoremada qisqacha bayon qilingan: S NAZARIYa Nisbiy ekstremma uchun ikkinchi hosila testi, fis har bir x uchun (a, b) har bir x uchun farqlanadigan va (e, (a, b)) kritik qiymat mavjud deb taxmin qilaylik. ) uchun / '(c) - 0. Keyin: 1. f (e) nisbiy minimal bo'ladi, agar / "()> 0. 2. () nisbiy maksimal bo'lsa, r () <0. f uchun (") e) = 0, Birinchi hosila test yordamida ((x) nisbiy ekstremum ekanligini aniqlash uchun foydalanish mumkin. Quyidagi grafiklarni ko'rib chiqing. Ularning har birida f'and f "e = 2 da hoth O, lekin birinchisi funktsiya ekstremumga ega, ikkinchi funktsiya esa yo'q. c kritik qiymat va / "(c) = 0 bo'lganida, ekstremum c da mavjud bo'lishi yoki bo'lmasligi mumkin. Shuni ham unutmangki, f '(c) mavjud emas va e kritik qiymat, keyin / "(c) ham mavjud emas. Shunga qaramay, f (c) ning ekstremum ekanligini aniqlash uchun Ikkinchi lotin sinovidan boshqa yondashuvdan foydalanish kerak. 60-21 J- -21. 1 r'0- 12-2 ra) -0 r2) -0 f (2) -0 lanive yo'q eNtremun Itelative minimum at2 Ikkinchi lotin ishlatiladi d quyidagi misollarda ko'rib turganimizdek ekstremani aniqlashda va grafikaning o'rtacha harakatini aniqlashda yordam beradi. 2.2 Maksimal va minimal qiymatlarni va eskiz grafikalarini topish uchun ikkinchi devivativlar 219 I MISOL 1 f (x) = x '+ x - 9x - 13 tomonidan berilgan f funktsiyasining nisbiy ekstremiyasini toping va grafigini eskizlang. Ta echimi har qanday muhim qiymatlarni hisobga olgan holda, biz f '(x) ni aniqlaymiz, har qanday muhim qiymatlar ekstremaga olib kelishini aniqlash uchun biz f "(x) ni ham topamiz: I' (x) = 3x + ox - 9," (x) - ox + 6. Keyin () -0: 3 + áx - 9 -0 x + 2x - 3 = o ni 1 Factorng x + 3 = 0 yoki x-1 = 0 (x + 3) tomonga teng dividmg hoth tomonlarini echamiz (). x - 1) -0 Zero Products Prmciple of Zero Products TECHNOLOGY CONNECTION * -3 yoki Explorative Biz keyingi koordinatalarni asl funktsiyadagi muhim qiymatlarni almashtirish bilan bog'laymiz: tomonidan berilgan funktsiyani ko'rib chiqing

Mutlaq 2.4 maksimal va minimal qiymatlarni topish uchun hosilalardan foydalanish Ekstremal butun bir grafika uchun eng yuqori yoki eng past nuqtada bo'lishi mumkin, bu holda u absolyut ekstremum deb nomlanadi. Masalan, ((x) = x bilan berilgan parabola (0, 0) da nisbiy minimumga ega. Bu shuningdek f ning butun grafigi uchun eng past nuqta, shuning uchun u absolyut minimum deb ham ataladi. Nisbiy ekstremalar foydalidir grafik chizmalarini chizish va funktsiyalarning xatti-harakatlarini tushunish uchun, ammo ko'pgina ilovalarda biz ko'proq mutloq ekstremma bilan shug'ullanamiz Maqsadlar Maksimal-Minimum Printsip 1-dan foydalanib mutlaq ekstremani toping. • Maksimal-Minimal printsipdan foydalanib mutlaq ekstrema-ni toping 2. Mutlaq maksimal va minimal Qiymatlar Nisbatan minimal (mutlaq minimal) bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin, bu funktsiyaning butun domeni bo'yicha eng kichik qiymatini anglatadi, xuddi shunday, nisbiy maksimal - bu maksimal (maksimal) bo'lishi yoki bo'lmasligi mumkin, bu funktsiyaning butun domenidagi eng katta qiymatini anglatadi. 3. Quyidagi grafadagi funktsiya (a, b) ichki e nuqtalarda va Ky ning ichki nuqtalarida nisbiy minimalarga ega.Masinu masinu Absohte Relaive inma Minina da Aselute Malative maimum, e da nisbiy minimal ham mutloq eng kam. Boshqa tomondan, $ ea $ da maksimal maksimal mutlaq maksimal emas. Mutlaq maksimal h ning so'nggi nuqtasida sodir bo'ladi. TA'RIRI f (I) domeniga ega funktsiya, deylik. KC) mutlaq minimal (1) dagi allx uchun f (c) sf (x) bo'lsa, (f) f (c) ) yopiq intervallar bo'yicha mutloq maksimal va minimal qiymatlarni topish uchun avval domen yopiq interval bo'lgan uzluksiz funktsiyani ko'rib chiqamiz. Shakllardagi grafikalarga qarang. I va 2 va har bir interval uchun mutlaq maksimal va minimal (ekstremma) qaerda sodir bo'lishini aniqlashga harakat qilaman. 2.4. Mutlaq maksimal va minimal qiymatlarni topish uchun Denvativerdan foydalanish 251-RASM 1-RASM 2 Funktsiyalarning har biri haqiqatan ham mutlaq maksimal va mutlaq minimal qiymatga ega ekanligini unutmang. Bu bizni quyidagi teoremaga olib boradi TEOREMA Ekstremal qiymat teoremasi (a, b] yopiq oraliqda aniqlangan uzluksiz funktsiya (a, b] ning absolyut maksimal qiymatiga va (a, b) ga teng bo'lgan minimal minimal qiymatiga ega bo'lishi kerak. 1 va 2-rasmlarda va kritik qiymatlarni va so'nggi nuqtalarni ko'rib chiqing.1-rasmda grafik f (a) dan boshlanadi va f (s) ga tushadi, keyin u f (e) dan (2) gacha ko'tariladi. , u f (b) ga tushadi, 2-rasmda grafik fa) dan boshlanadi va f (e) ga ko'tariladi, so'ngra u f (s) dan f (cz) gacha tushadi. U erdan u (( h). Maksimal va minimal qiymatlar qanday bo'lishidan qat'iy nazar, ular f (a), f (e). (e2) va f (b) funktsiyalar qiymatlari orasida bo'lishi oqilona ko'rinadi, bu bizni absolyutni aniqlash tartibiga olib keladi. ekstremma. 8-NAZORIYa 1 Maksimal-minimal printsip Faraz qilaylik, yopiq nterval [a, b) bo'yicha aniqlangan uzluksiz funktsiya. Mutlaqo maksimal va minimal qiymatlarni a, b dan topish uchun: a) Avval f '(x) ni toping. b) Keyin [a, h) dagi barcha muhim qiymatlarni aniqlang. Ya'ni, barcha c ni a, b) ichida toping, buning uchun: l '(c) = 0 yoki' () mavjud emas. ) (B) qadam va intervalning so'nggi nuqtalaridagi qiymatlarni sanab o'ting: d, 1. b. d) (e) bosqichidagi har bir qiymat uchun f (x) ni baholang:

Mutlaq 2.4 maksimal va minimal qiymatlarni topish uchun hosilalardan foydalanish Ekstremal butun bir grafika uchun eng yuqori yoki eng past nuqtada bo'lishi mumkin, bu holda u absolyut ekstremum deb nomlanadi. Masalan, ((x) = x bilan berilgan parabola (0, 0) da nisbiy minimumga ega. Bu shuningdek f ning butun grafigi uchun eng past nuqta, shuning uchun u absolyut minimum deb ham ataladi. Nisbiy ekstremalar foydalidir grafik chizmalarini chizish va funktsiyalarning xatti-harakatlarini tushunish uchun, ammo ko'pgina ilovalarda biz ko'proq mutloq ekstremma bilan shug'ullanamiz Maqsadlar Maksimal-Minimum Printsip 1-dan foydalanib mutlaq ekstremani toping. • Maksimal-Minimal printsipdan foydalanib mutlaq ekstrema-ni toping 2. Mutlaq maksimal va minimal Qiymatlar Nisbatan minimal (mutlaq minimal) bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin, bu funktsiyaning butun domeni bo'yicha eng kichik qiymatini anglatadi, xuddi shunday, nisbiy maksimal - bu maksimal (maksimal) bo'lishi yoki bo'lmasligi mumkin, bu funktsiyaning butun domenidagi eng katta qiymatini anglatadi. 3. Quyidagi grafadagi funktsiya (a, b) ichki e nuqtalarda va Ky ning ichki nuqtalarida nisbiy minimalarga ega.Masinu masinu Absohte Relaive inma Minina da Aselute Malative maimum, e da nisbiy minimal ham mutloq eng kam. Boshqa tomondan, $ ea $ da maksimal maksimal mutlaq maksimal emas. Mutlaq maksimal h ning so'nggi nuqtasida sodir bo'ladi. TA'RIRI f (I) domeniga ega funktsiya, deylik. KC) mutlaq minimal (1) dagi allx uchun f (c) sf (x) bo'lsa, (f) f (c) ) yopiq intervallar bo'yicha mutloq maksimal va minimal qiymatlarni topish uchun avval domen yopiq interval bo'lgan uzluksiz funktsiyani ko'rib chiqamiz. Shakllardagi grafikalarga qarang. I va 2 va har bir interval uchun mutlaq maksimal va minimal (ekstremma) qaerda sodir bo'lishini aniqlashga harakat qilaman. 2.4. Mutlaq maksimal va minimal qiymatlarni topish uchun Denvativerdan foydalanish 251-RASM 1-RASM 2 Funktsiyalarning har biri haqiqatan ham mutlaq maksimal va mutlaq minimal qiymatga ega ekanligini unutmang. Bu bizni quyidagi teoremaga olib boradi TEOREMA Ekstremal qiymat teoremasi (a, b] yopiq oraliqda aniqlangan uzluksiz funktsiya (a, b] ning absolyut maksimal qiymatiga va (a, b) ga teng bo'lgan minimal minimal qiymatiga ega bo'lishi kerak. 1 va 2-rasmlarda va kritik qiymatlarni va so'nggi nuqtalarni ko'rib chiqing.1-rasmda grafik f (a) dan boshlanadi va f (s) ga tushadi, keyin u f (e) dan (2) gacha ko'tariladi. , u f (b) ga tushadi, 2-rasmda grafik fa) dan boshlanadi va f (e) ga ko'tariladi, so'ngra u f (s) dan f (cz) gacha tushadi. U erdan u (( h). Maksimal va minimal qiymatlar qanday bo'lishidan qat'iy nazar, ular f (a), f (e). (e2) va f (b) funktsiyalar qiymatlari orasida bo'lishi oqilona ko'rinadi, bu bizni absolyutni aniqlash tartibiga olib keladi. ekstremma. 8-NAZORIYa 1 Maksimal-minimal printsip Faraz qilaylik, yopiq nterval [a, b) bo'yicha aniqlangan uzluksiz funktsiya. Mutlaqo maksimal va minimal qiymatlarni a, b dan topish uchun: a) Avval f '(x) ni toping. b) Keyin [a, h) dagi barcha muhim qiymatlarni aniqlang. Ya'ni, barcha c ni a, b) ichida toping, buning uchun: l '(c) = 0 yoki' () mavjud emas. ) (B) qadam va intervalning so'nggi nuqtalaridagi qiymatlarni sanab o'ting: d, 1. b. d) (e) bosqichidagi har bir qiymat uchun f (x) ni baholang:

Maksimal-minimal muammolar; 2.5 Biznes va iqtisodiyot sohalariga tatbiq etish Hisoblashning muhim usuli - bu maksimal-minimal muammolarni hal qilish, ya'ni har xil miqdordagi Q ning mutlaq maksimal yoki minimal qiymatini va shu maksimal yoki minimal sodir bo'ladigan nuqtani topishdir. Maqsad • Hisoblash yordamida maksimal-minimal muammolarni echish. I MISOL 1 Maydonni maksimal darajaga ko'tarish. Xobbi do'konida ko'rgazma xonasining bir burchagida elektr poezd uchun to'rtburchaklar maydonni to'sish uchun 20 fut fextavonie mavjud. Devorga qarama-qarshi ikki tomon panjara talab qilmaydi. To'rtburchakning qaysi o'lchamlari maydonni maksimal darajada oshiradi? Maksimal maydon qancha? Yechim Bir qarashda, biz qanday o'lchamlarni tanlashimiz muhim emas deb o'ylashimiz mumkin: ularning barchasi bir xil maydon hosil qiladi. Bunday emas Keling, avval rasm chizamiz va maydonni bitta o'zgaruvchida ifodalaymiz. Agar biz x = uzunlikni, bir tomonning oyoqlari bilan, y = uzunligini, oyoqlarini, ikkinchisining uzunligini qo'ysak, unda uzunliklar yig'indisi 20 fut bo'lishi kerak bo'lsa, biz x + y = 20 va y = ga egamiz. 20 - x: Shunday qilib, maydon A = xy = x (20 - x) = 20x - x 2.5 bilan berilgan. Maksimal-minimal probiemalar, ishbilarmonlik va iqtisodiy dasturlar 263 Biz TEXNOLOGIYA BOG'LANIShI Ala- 20x- MAShQLARNING maksimal qiymatini topishga harakat qilmoqdamiz 1. Ushbu jadvalni kerak bo'lganda kalkulyator yordamida to'ldiring. (0, 20) oraliqda A (x) = 20x - x. Biz (0, 20) oralig'ini ko'rib chiqamiz, chunki x uzunlik va salbiy ar 0 bo'lishi mumkin emas, chunki atigi 20 fut fextavonie mavjud bo'lsa, x 20 dan katta bo'lishi mumkin emas. Shuningdek, x 20 hecacus bo'lishi mumkin emas, shunda y ning uzunligi bo'ladi. u 0. y = 20 - xA = x (20 - x) 20 20 Uzunlik (oyoq bilan) 6.5 a) Biz avval A '(x) ni topamiz: A' (x) = 20 - 2x. . b) bu ​​hosila (0, 20) dagi x ning barcha qiymatlari uchun mavjud. Shunday qilib, faqat bitta muhim qiymat bu erda 10 A '(x) = 20 - 2x = 0 -2x = -20 12 13.2 x = 10. Faqat bitta muhim qiymat bo'lgani uchun, biz ikkinchi lotin yordamida o'zimizga tegishli yoki yo'qligini aniqlashimiz mumkin. maksimal 20 mum. E'tibor bering 2. [0, 20] oralig'ida A (x) = x (20 - x) grafik. A "(x) = -2, 3. Maksimal qiymatni taxmin qiling va uning paydo bo'lgan joyini aniqlang. Bu doimiydir. Shunday qilib, A" (10) manfiy, shuning uchun A (10) maksimal bo'ladi. Endi> Tezkor tekshiruv 1 50 futlik fextavonie bilan boshlangan 1-misolni takrorlang va yana 100 fi fextavonie bilan boshlang. Naqshni aniqlaysizmi? Agar sizda fe'l-atvorning n futi bo'lgan bo'lsa, A (10) = 10 (20 - 10) = 10. qanday bo'lar edi. 10 = 100. Shunday qilib, 100 f maksimal maydon bir tomonning uzunligi uchun 10 t yordamida olinadi va 20 - 10 yoki boshqasi uchun 10 fut. A (5) = 75, A (16) = 64 va A (12) = 96; shuning uchun uzunlik maydonga ta'sir qiladi. maksimal o'lchamlari (Tezkor tekshiruv 1 maydonini (n bo'yicha)? Mana, maksimal-minimal muammolarni hal qilishning umumiy strategiyasi. Garchi bu muvaffaqiyatga kafolat bermasa ham, bu sizning imkoniyatlaringizni yaxshilashi kerak. Maksimal-minimal muammolarni hal qilish strategiyasi. 1. Muammoni diqqat bilan o'qing, tegishli bo'lsa, chizilgan rasmni tuzing 2. Nimasi o'zgarib turishini, nima o'zgarmas bo'lib qolishini va qanday birliklardan foydalanilishini belgilab, tegishli o'zgaruvchilar va doimiylarning ro'yxatini yarating. 4. Muammoni Q kattalashtirilgan yoki minimallashtirilgan miqdorini o'z ichiga olgan tenglamaga tarjima qiling. Q ni 2-bosqich o'zgaruvchilari jihatidan ifodalashga harakat qiling. 4. Q ni bitta o'zgaruvchiga vazifasi sifatida ifodalashga harakat qiling. Maksimal yoki minimal qiymatlarni va ular paydo bo'ladigan nuqtalarni aniqlash uchun 2.1-2.4 bo'limlarda 264-BOB. Differentsiatsiyaning qo'llanilishi I O'RNAK 2 Ovoz balandligi Shunday qilib, tomonlar fol bo'lishi mumkin qutichani yasashga bag'ishlangan. Nima

Men 2-MISOL. Ovozni maksimal darajada oshirish. Yupqa kartondan 8 dyuymdan 8 dyuymgacha kvadratchalar kesilib, yon tomonlari buklanib qutichani hosil qilishi mumkin. Qaysi o'lchamlar maksimal hajmdagi qutini beradi? Maksimal ovoz qancha? Yechim Dastlab yana qanday o'lchamlar muhim emas deb o'ylashimiz mumkin, ammo I misol bilan tajribamiz aksini ko'rsatmoqda. Biz chizilgan chizamiz, unda x har bir kvadratning uzunligi, dyuym bilan kesilishi kerak. Shuni ta'kidlash kerakki, asl kvadrat 8 dyuymdan 8 dyuymgacha, kichik kvadratchalar olib tashlangandan so'ng, qutining yon tomonlari (8 - 2x) dyuym (8 - 2x) dyuymga teng bo'ladi. 8m. 8-2x 8-2 8-2x Sin TEXNOLOGIYASI ULANISH E To'rtta kichkina kvadratchalar olib tashlanib, yon tomonlari katlangandan so'ng, hosil bo'lgan qutining V hajmi mashqlar 1. 2-misolni tasavvur qilish uchun ushbu jadvalni to'ldiring V = 1 • wh = (8 - 2x) · (8 - 2x) -x, V (x) = (64 - 32x + 4x) x = 4x - 32x + 64x. . Yoki% 3D 8 - 2 4x - 32x + 64x 8 - 2x> 0 ekan, demak, x <4. Shunday qilib, biz (0, 4) oralig'ida V (x) = 4x - 32x + 64x ni maksimal darajaga ko'tarishimiz kerak. 0.5 Buning uchun avval V '(x) ni topamiz: LO V' (x) = 12x - 64x + 64. 15 V ((x)) (0, 4) oralig'idagi barcha x lar uchun mavjud bo'lganligi sababli biz o'rnatamiz kritik qiymatlarni topish uchun 0 ga teng: 2.0 v '(x) = 12x - 64x + 64 = 0 2.5 4 (3x - 1óx + 16) = 0 4 (3x - 4) (x - 4) = 0 3x - 4 = 0 yoki x- 4 = 0 3.0 3.5 3x = 4 yoki x = 4 4.0 x = yoki x = 4. (0, 4) dagi yagona muhim qiymat Shunday qilib, biz ikkinchi hosiladan foydalanishimiz mumkin, V grafika. (x) = 4x-32x + 64x (0, 4) oralig'ida.% 3! 3. Maksimal qiymatni taxmin qiling va uning sodir bo'lgan joyini V "(x) = 24x - 64 ga etkazing. . V () = 24-4 - 64 = 32 - 64 <0 bo'lgani uchun, biz V) maksimal ekanligini bilamiz. 2.5. Shunday qilib, qutining hajmini maksimal darajada oshirish uchun chekkalari. Dyuym yoki 1f dyuym bo'lgan kichik kvadratchalar dastlabki 8 dyuymdan 8 dyuymgacha bo'lgan kartondan kesilgan bo'lishi kerak. Yonlarni katlasak, natijada olingan qutida uzunlik qirralari bo'ladi> Tezkor tekshiruv 2 24 8 16 8 - 2x = 8 - 2 - dyuymli karton varag'idan boshlangan 2-misolni takrorlang. (odatdagi varaqning o'lchami). Ushbu hox suyuqlikda 1 ta it (L) ushlab turadimi? (Maslahat IL = 1000 em va I '= 16,38 sm) va Iin balandligi. Maksimal hajmi 1024 + 64 27 (Tezkor tekshiruv 2 Ishlab chiqarishda sarflanadigan material miqdorini minimallashtirish har doim ham xarajat nuqtai nazaridan, ham samaradorlik nuqtai nazaridan afzal ko'riladi I O'RNAK 3 Materialni minimallashtirish: sirt maydoni. Oziq-ovqat mahsulotlarini ishlab chiqaruvchi konteynerlarda 500 millilitr (ml: I ml. = I sm) silindrsimon quti tayyorlanadi. Qaysi o'lchamlar (balandlik va radius) kesh qutisini ishlab chiqarish uchun zarur bo'lgan materialni, ya'ni sirt maydonini minimallashtiradi? Salom h = qutining balandligi va r = radiusi, ikkalasi ham santimetrda o'lchangan.Tsilindrning hajmi uchun formulasi% 3D V = mrh, biz 500 sm hajmini bilganimiz uchun, bu formula h va r ni bog'lashga imkon beradi. , birini ikkinchisiga ifoda etgan holda hal qilish osonroq, h uchun r nuqtai nazaridan: mrh = 500 500 VERMONT TON VERMONT konserva ikki dumaloq uchidan, maydoni mr ga teng keshdan va yon devoridan iborat. yassi yotqizilganida, balandligi h va lengihi to'rtburchak bo'lib, u aylana bilan bir xil bo'ladi dumaloq uchlari yoki 2mr. Shunday qilib, bu to'rtburchakning maydoni Zrrh.

266 2-BOB Differentsiatsiyaning qo'llanilishi Umumiy sirt maydoni A - bu ikki dumaloq uchlari va yon devorlari maydonlarining yig'indisi: A = 2 (Tr) + (2mh) 500 = 2ry + 2r Sulhsmunng uchun k soddalashtirish, bizda maydon bor A radiusi r funktsiyasi sifatida: 1000 Alr) = 2wr + Ushbu muammoli vaziyatning tabiati r> 0 ni talab qiladi. Biz farqlaymiz: 1000 d1000 1000 A '(r) = 4mr - E'tibor bering (1000 - - 1000 Biz lotinni 0 ga tenglashtiramiz va kritik qiymatlarni aniqlash uchun r uchun echamiz: 1000 1000 4 = 1000 1000 250 250 E 4.3 sm. R 4.3 kritik qiymati (0, o0) oralig'idagi yagona muhim qiymatdir. Ikkinchi hosila 400 (41.34 73) 300 2000 A "(r) - 4 + 200 A" (x) ni kritik qiymatda baholash, biz ijobiy qiymatni olamiz: E 100 2000> Tezkor tekshirish 3 A "(4.3) = 4r (4.1)> 0. Radius (santimetrda 1000 sm hajmdagi silindrsimon quti uchun 3-misolni takrorlang. Siz nimani payqadingiz? silindrlar radiusi va balandligi orasidagi bog'liqlikmi? Boshqa har qanday hajm uchun yana bir misolni takrorlang. Radius va balandlik o'rtasidagi o'zaro bog'liqlik hanuzgacha saqlanib qoladimi? Ushbu munosabatni ayting. Grafik kritik qiymatga tenglashtirilgan, shuning uchun kritik qiymat minimal 250 yoki Shunday qilib, radius taxminan 43 sm bo'lishi kerak, balandligi - em. 500 taxminan h - 8.6 sm, va minimal minimal sirt maydoni taxminan T (4.3) oxirgi paytlarda 348.73 sm. Yon va uchlari uchun ishlatiladigan material bir xil turadi, deb hisoblasak, sirt maydonini minimallashtirish ham kesh qutisini ishlab chiqarish uchun gipsni minimallashtiradi (Tezkor tekshirish 3 2.5). Maksimal-minimal probiemalar, biznes va iqtisodiy qo'llanmalar 267 I O'RNAK 4 Biznes: daromadlarni ko'paytirish. Stereo ishlab chiqaruvchi yangi stereo x birliklarini sotish uchun uning birligi uchun narx, dollar qiymatida P (x) = 1000 - x bo'lishi kerakligini belgilaydi ishlab chiqaruvchi x birliklarni ishlab chiqarishning umumiy qiymati berilganligini ham belgilaydi. tomonidan C (x) = 3000 + 20x. a) Jami daromadni toping R (x). b) jami foyda P (x) ni toping. c) Maksimal foyda olish uchun kompaniya qancha birlikni ishlab chiqarishi va sotishi kerak? d) maksimal foyda qancha? e) ushbu maksimal foyda olish uchun har bir utnit uchun qanday narx olinishi kerak? Yechim a) R (x) = Jami daromad = (Birlik soni) (Birlik uchun narx) = x (1000 - x) = 1000x - xb) P (x) - Jami daromad - Jami daromad - R (x) - C (x) (1000x - x) - (3000 + 20x) 1000

10-NAZORIYa Maksimal foyda R '(x) = C' (x) va R "(x) Tezkor tekshiruvlar. Haseball jamoasi har bir chipta uchun 530 dan haq oladi va o'rtacha har bir o'yin uchun 20000 kishini attendernce bilan oladi. Lach kishi o'rtacha S8 ni imtiyozlarga sarflaydi. Thuy, narxni 5 ga pasaytirmaydi, chunki bu yagona muhim qiymat bo'lgani uchun, biz ikkinchi hosiladan foydalanishimiz mumkin. R "(x) = - 100, maksimal darajaga ega ekanligimizni aniqlash uchun. R "(5) manfiy ekan, maksimal R (5) ts. Shuning uchun daromadni ko'paytirish uchun teatr chipta plyusidagi har bir tomchi S1 ni olishi kerak, tomoshabinlar soni 800 kishiga oshadi. Chiptaning narxi qanday bo'lishi kerak Umumiy daromadni mukammallashtirish uchun jamoaviy maoshni talab qiladimi? 526-55 yoki har bir chipta uchun 21 dollar. (Tezkor tekshirish 5 inventarizatsiya xarajatlarini minimallashtirish. Chakana savdo korxonasi inventarizatsiya xarajatlari bilan shug'ullanishi kerak. Masalan, maishiy texnika do'koni boshiga 2500 televizor sotadi) Bir yil ichida u barcha to'plamlarga buyurtma berish orqali ishlashi mumkin edi, ammo keyinchalik egalari ularni saqlash xarajatlariga (sug'urta, bino maydoni va boshqalar) duch kelishadi, shuning uchun ular bir nechta, masalan, 5 ta kichik buyurtma berishlari mumkin, Shunday qilib, ular saqlashi kerak bo'lgan eng katta raqam 500 ga teng. Biroq, ular qayta tartibga solish vaqtini, hujjatlarni rasmiylashtirish, etkazib berish to'lovlari, ishchi kuchi va boshqa xarajatlarni talab qiladi, shuning uchun balans xarajatlari bilan balans bo'lishi kerak. xarajatlarni qayta tartiblash. Keling, qanday qilib t nima ekanligini aniqlashga yordam berishi mumkinligini ko'rib chiqaylik Bosh kiyim balansi bo'lishi mumkin Biz quyidagi funktsiyani minimallashtirishga harakat qilmoqdamiz: inventarizatsiya qilish uchun umumiy xarajatlar (yillik xarajatlar) + (yillik tartibga solish xarajatlari),. Lot hajmi x - har bir tartibga solish davrida buyurtma qilingan eng katta raqam. Agar har bir davrda x birlik buyurtma qilingan bo'lsa, u holda bu vaqt ichida 0 dan x gacha bo'lgan birlik mavjud. Hisobdagi davrning istalgan vaqtida aks ettirilgan ifodasini olish uchun o'rtacha qiymatdan foydalanishimiz mumkin, x / 2 Bu har bir vaqt oralig'ida zaxirada saqlanadigan o'rtacha miqdorni anglatadi. Quyida va keyingi sahifada ko'rsatilgan grafikalarga qarang. Agar partiyaning hajmi 2500 bo'lsa, unda buyurtmalar orasidagi vaqt oralig'ida 0 dan 2500 gacha bo'lgan birlik mavjud. O'rtacha stokda 2500/2 yoki 1250 birlik mavjud. Agar partiyaning hajmi 1250 bo'lsa, unda buyurtmalar orasidagi vaqt oralig'ida 0 dan 1250 gacha birlik mavjud. O'rtacha 1250/2 yoki 625 dona stokda mavjud. Umuman olganda, agar lot hajmi x bo'lsa, o'rtacha inventarizatsiya x / 2 ga teng. 2500 O'rtacha lot hajmi O'rtacha ixtiro hajmi Lat (o'lchamlari) Tinte fin oylari) 12 270 2-BOB. Differentsiatsiya qo'llanilishi 1250 O'rtacha lotin hajmi Laverage uventury) 625 Lot maydoni (inventarizatsiya vaqti kalay oyi) Arsran yulduzcha qo'ydi

Marginallar va differentsiallar 2.6 Ushbu bo'limda chiziqli yaqinlashtirish uchun hisobdan foydalanish usullarini ko'rib chiqamiz. Masalan, kompaniya ishlab chiqarishni ko'paytirishni o'ylayotganini taxmin qiling. Odatda kompaniya hech bo'lmaganda xarajatlar, daromadlar va foydaning o'zgarishi qanday bo'lishini taxmin qilishni xohlaydi. MAKSADLAR • Cheklangan xarajatlar, daromadlar va foydani topish. • Ay va dy ni toping. • Yaqinlashish uchun differentsiallardan foydalaning. Marginal xarajatlar, daromadlar va foyda guruh o'z CD-ni ishlab chiqarayapti va oylik ishlab chiqarishni 12 ta kartondan 13 tagacha ko'paytirishni ko'rib chiqayapti deb taxmin qilaylik, natijada tannarxning oshishini taxmin qilish uchun narxning oshib borayotgan tezligini topish maqsadga muvofiq bo'ladi. 12 ta karton ishlab chiqarilganda va uni 12 ta karton ishlab chiqarish narxiga qo'shib qo'ying. Ya'ni, C (13) = C (12) + C '(12). 278 2-BOB Diferentsiyalashning qo'llanilishi C '(12) soni cheklangan xarajat ut 12 deb nomlanadi. Shuni yodda tutingki, C' (12) (12, C (12)) nuqtadagi teginish chizig'ining qiyaligi hisoblanadi. Masalan, IL, bu qiyalik, biz uni gorizontal o'zgarishi bilan vertikal o'zgarishi 4 ga yoki vertikal o'zgarishi 1 ga teng bo'lsa, vertikal o'zgarish deb hisoblashimiz mumkin. Aynan shu so'nggi izohni biz taxmin qilish uchun ishlatamiz. Grafik jihatdan ushbu talqinni chap tomonda ko'rsatilgandek ko'rish mumkin. Rasmda C "(12) C (13) va C (12) orasidagi farqdan bir oz ko'proq ekanligiga e'tibor bering. Yoki C (13) - C (12). Boshqa egri chiziqlar uchun C '(12) biroz bo'lishi mumkin C (13) - C (12) dan kam, deyarli har doim, ammo C ((12)) ni hisoblash C (13) - C (12) ga qaraganda osonroq. Umumlashtirib, quyidagilarga egamiz. Ishlab chiqarilgan kartonlarning soni TA'RIFLAR C (x), Rx) va P (x) navbati bilan x buyumlarni ishlab chiqarish va sotishdan olingan umumiy xarajatlarni, daromadlarni va daromadlarni aks ettiradi. C '(x) bilan berilgan x qiymatidagi chegara qiymati (x + 1) element C' (x) = C (x + 1) - C (x) yoki C (x +) ning taxminiy quyishidir. 1) = C (x) + C '(x). : R '(x) tomonidan berilgan x qiymatidagi marginal daromad (x + 1) elementdan taxminiy daromad hisoblanadi: R' (x) = R (x + 1) - R (x) yoki R ( x + 1) = R (x) + R '(x). P '(x) tomonidan berilgan x darajadagi foyda bu (x + 1) element P' (x) = P (x + 1) - P (x) yoki P (x +) dan olingan taxminiy foyda. 1) = P (x) + P (x). Siz P '(x) = R' (x) - C '(x) ekanligini tasdiqlashingiz mumkin. 1-O'RNAK. Biznes: marjinal xarajatlar, daromadlar va foyda. Berilgan C (x) = 62x + 27.500 va R (x) = - 12 + 40x + 10. quyidagilarning har birini toping a) Jami foyda, P (x) b) Jami tannarx, daromad va ishlab chiqarish va sotishdan olingan foyda mahsulotning 50 birligidan c) 50 dona ishlab chiqarilganda va sotilganda marjinal xarajatlar, daromadlar va foyda Qaror a) Jami foyda = P (x) = R (x) - C (x) = x '- 12x + 40x + 10 - (62x + 27500) = x- 74x + 40x - 27.490 * "margunal" atamasi Margmalist School al Economac Thought-dan kelib chiqadi, bu Antria-da iqtisodiy tadqiqotlar uchun matemankalar va statutlarni qo'llash maqsadida aniq maqsadga muvofiq Antraniyada paydo bo'lgan. Marginallar va differentsiallar 279 b) C (50) = 62 - 50 + 27.500 = 5181.500 (dastlabki 50 donani ishlab chiqarishning umumiy qiymati); R (50) = 50 '= 12-50 + 40- 50 + 10 = 97,010 dollar (dastlabki 50 donani sotishdan tushadigan umumiy daromad); TEXNOLOGIYA BOG'LANISHI E Biznes: marginal daromad, xarajat va foyda P (50) = R (50) - C (50) = 97.010 $ - 182.500 $ mashg'ulot 1. Ko'rish oynasini [o, 100, 0, 2000) ochish, jami grafik - daromad va jami xarajatlar funktsiyalari Bundan tashqari biz Px) ni la) = = -SH5.497 dan 50 birlik ishlab chiqarilganda va sotishda S85.490 tosh qoldig'i mavjud R (x) = 50x - 0.5xc) C '( x) = 124x, shuning uchun C '(50) = 124-50 = S6200, 50 birlik tuzilgandan so'ng, 51-birlikning taxminiy qiymati (chekka xarajat) Sn200 ga teng. R (x) = 3x - 24x + 40, shuning uchun R '(50) 3. 50 - 24- 50 + 40 = s6340 va C (x) = 10x + 3,% 3D 50 birlik sotilgandan so'ng, taxminiy daromad 51-birlikdan (marjinal daromad) So140. Keyin P (x) ni toping va uni xuddi shu ko'rish oynasi yordamida grafiklang. R '(x), C' (x) va P '(x) ni toping va ularni [0, 60, 0, 60) yordamida grafiklang. Keyin R (40), C (40), P (40), P '(x) = 3x - 148x + 40 ni toping, shuning uchun P' (50) = 3.50 - 148-50 + 40 = S140. 50 dona ishlab chiqarilgandan va sotilgandan so'ng, 51-moddaning sotilishidan olingan taxminiy foyda (marginal foyda) S140 ga teng.

WIRTEAS TEXNOLOGIYASINI ULANISH E9 Bunday holda, C '(50) C (51) - C (50) ning taxminiy qiymatini beradi, bu haqiqiy qiymatning 1% atrofida bo'ladi. Shuni ta'kidlash kerakki, o'rtacha narx o'rtacha narxdan farq qiladi: R (51) - R (51) - R (50) ning bahosi sifatida V1 = x - 12 + 40x + 10. ga = yi (x + 1) - vi (x) va Y = nDeriv (y) bo'lsin. .xx). Indpnt bilan TABLE dan foydalanib: Ask, biz jadvalni namoyish etamiz, unda y, (y (x + 1) va yı (x)) orasidagi farqni y '(x) bilan taqqoslash mumkin. C (50) - Umumiy xarajat 50 unms 50 birlik uchun o'rtacha xarajat = 50 umts lomberi 30 182,500 $ 3650, 50, 50 dona ishlab chiqarilganda Märginal xarajat = 56200 * 51-birlik narxi. 4U differentsiallari va delta yozuvlari C '(x) chegara xarajatlari C (xg + 1) ni baholash uchun ishlatilishi mumkin bo'lganidek, har qanday qo'shni funktsiya hosilasi qiymati f "(xo), ning qiymatlarini baholash uchun ishlatilishi mumkin. xg qiymatlari uchun f (x) xg ga yaqin. Buning uchun biz oldin ba'zi bir yozuvlarni ishlab chiqishimiz kerak. F (x + h) - f (x) koeffitsientini eslang. MASQA 1. samaradorligini tekshirish uchun jadval yarating. P (51) - P (50) 280 ni taxmin qilish uchun P '(50) dan foydalanib, 2-bob. Differentsiatsiyaning qo'llanmalari o'ngdagi grafikada tasvirlangan. Farq miqdori kv-dagi funktsiya hosilasini aniqlash uchun ishlatiladi. h soni x ning o'zgarishi deb qaraladi. Bunday o'zgarishlarning yana bir yozuvi Ax, "delta x" ni o'qing va delta yozuvi deb nomlang, Ax ifodasi A va X ning hosilasi emas; bu o'zgaruvchan yangi turdagi o'zgaruvchidir. x qiymatining birinchi qiymatdan ikkinchisiga o'zgarishini yuboradi Shunday qilib, - At Ax = (x + h) - x = h Agar x ning birinchi va ikkinchi qiymatlari uchun pastki yozuvlardan foydalanilsa, bizda Ax = x - X, yoki x = xị + Ax. Axning qiymati ijobiy yoki salbiy bo'lishi mumkinligini unutmang. Masalan, agar x; = 4 va Ax = 0,7, keyin x; = 4.7, ifx = 4 va Ax = -0.7, keyin x = 33. va biz odatda pastki yozuvlarni qoldiramiz va x va x + Ax dan foydalanamiz Endi y = f (x) tomonidan berilgan funktsiyamiz bor deb taxmin qiling. X ning x dan x + Ax ga o'zgarishi y ning fx) dan f (x + Ax) gacha o'zgarishini keltirib chiqaradi. Y ning o'zgarishi Ay = f (x + Ax) - f (x) bilan berilgan. I 2-O'RNAK y = x, x = 4 va Ax = 0.1 uchun Ayning echimini toping Bizda Ay = (4 +0.1) - = (4.1) - 4 = 16.81 - 16 = 0.81. I 3-MISOL y = x, x = 2 va Ax = -0.1 uchun Av ni toping. Yechim Bizda Ay = [2 + (-0.1) F - 2 = (1.9) - 2 = 6.859 - 8 = -1,141. > Tezkor tekshirish 1 y = 2r + x, x = 2 va Ax = -0,05 uchun Ay ni toping. (Tezkor tekshirish 1 Endi funktsiya qiymatlarini prognoz qilish uchun hisob-kitobdan foydalanamiz. Il delta yozuvidan foydalaniladi, farq miqdori - f (x + h) - {(x) bo'ladi. F (x + Ax) - (x) Ay Ax Balta Keyin biz lotinni dy Ay = lim de Aro Ax 2.6 shaklida ifodalashimiz mumkin.Marginallar va differentsiallar 281 Delta notasi Leybnits yozuviga o'xshashligini unutmang (15-bo'limga qarang) .Ax 0 ga yaqin qiymatlari uchun biz dy Ay d yaqinlashamiz. A yoki f (x) Ax Ay = Ikkinchi ifodaning ikkala tomonini Ar bilan ko'paytirsak, bizga Ay = f '(x) Ax hosil bo'ladi.Haqiqiy qiymat Langent chizig'idan olingan Fay Biz buni o'ngdagi grafikada ko'rishimiz mumkin Ushbu grafadan , ning kichik qiymatlari uchun, deb taxmin qilish mumkin

E'tibor bering, delta yozuvlari Leybnits yozuvlariga o'xshaydi (15-bo'limga qarang). Ax qiymatining 0 ga yaqin qiymatlari uchun dy Ay yoki f (x) = Ax taxminiy soniga egamiz. Ikkinchi ifodaning hoth tomonlarini Ax bilan ko'paytirish bizga Ay = f '(x) Ax ni beradi. Vahie f Langemi chizig'i Biz buni o'ngdagi grafikada ko'rishimiz mumkin. Ushbu grafikadan Arning kichik qiymatlari uchun egri chiziqdagi funktsiya qiymatlarini baholash uchun teginish chizig'idagi y qiymatlari ishlatilishi mumkin deb taxmin qilish mumkin. $ F $ uchun doimiy, farqlanadigan funktsiya va kichik Ax, Ay J '(x) = va Ay f' (x) - Ax. Keling, bu idkani kvadrat-rot funktsiyasini ko'rib chiqamiz, f (x) = Vx Biz kalkulyator yordamida V27 ga qanday yaqinlashishni bilamiz. Ammo qilmadik deylik. Biz V25 bilan boshlashimiz mumkin va Ax = 2 kirishda o'zgarish sifatida foydalanishimiz mumkin, biz V7 ni baholash uchun mos keladigan y, ya'ni Ay = f '(x) Ax dan foydalanamiz. I MISOL 4 Ay f '(x) Ax Solution yordamida taxminiy V27. Biz birinchi navbatda 27 ga yaqin umberni mukammal kvadrat deb o'ylaymiz. Bu 25. Biz qiladigan narsa, x - 25 dan 27 gacha o'zgarganda y - Vx qanday o'zgarishini taxminiy hisoblaymiz. Yuqoridagi katakchada bizda Ay = l '(x) - Ax foydalanib, V ffa mavjud) Biz Ayni x sifatida qiziqtiramiz 25 dan 27 gacha o'zgaradi, shuning uchun Ay 2 2V25 a ni 25 va av ni 2 0,2 ​​bilan almashtirish Endi V27 ni taxmin qilishimiz mumkin: V7 = V25 + Ay = 5+ Ay> Tezkor tekshirish 2 Taxminan V98 ni Ay f '(x) Ax To To kasrli kasrlar, V98 = 9.89949, Sizning taxminiy masofangiz qancha? * 5 + 0.2 5.2 Beshta o'nli kasrgacha, V27 = 5.19615. Shunday qilib, bizning taxminimiz juda aniq. . (Tezkor tekshirish 2 Hozirgacha biz dy va dx belgilarini alohida mavjudotlar sifatida aniqlamadik, kulbada dy / dx bitta belgi sifatida qaraldi. Biz hozir dy va de ni aniqladik. Ushbu belgilar differentsial deb nomlangan. 282-BOB. Differentsiatsiyaning qo'llanilishi TA'RIF Y (x) uchun x ning differentsiali deb nomlangan dx ni de = Ax va dy bilan aniqlaymiz, y ning diferensiali deyiladi, dy = f (x) dx Biz o'ng tomonda ko'rsatilgandek dx va dy ni tasvirlashimiz mumkin. E'tibor bering de Ar, lekin dy Ay.hatto dy Ay, dx ning kichik qiymatlari uchun I I 5-MISOL yx (4 - x) uchun a) dy ni toping. b) x = 5 va de 001 bo'lganda dy ni toping.) dy ni Ay bilan taqqoslang. : Yechim a) Birinchidan, dy / du dy -x 3 (4 - x) (- 1)] + (4 - x) - Sa (4 - x) + (4 - x) = (4 - x) ni topamiz. ) [- 3x + (4 - x)] = (4 - x) l- 4x + 4] = - 4 (4 - x) '(x - 1). Lng ihe mahsulot va zanjir qoidalari Faktoring (4-a Factormg out - Keyin dy dy = - 4 (4 - x) * (x - 1) de uchun echim topamiz. B) x = 5 va dx = 0.01 bo'lganda, dy = - 4 (4 - 5) (5 - 1) (0.01) = - 4 (-1) (4) (0.01) = -0.16. c) dy = -0.16 qiymati x, = 5 va orasidagi y ning taxminiy o'zgarishi