|
31
§
5.
Diskret tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalari
Tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni shu tasodifiy miqdorni tо‘liq
tavsiflaydi. Ammo, ba’zi hollarda tasodifiy miqdorni yig‘ma tasvirlaydigan
sonlardan foydalanish qulay bо‘ladi. Bunday sonlar tasodifiy miqdorning
sonli
xarakteristikalari
deyiladi. Sonli xarakteristikalarga
matematik kutilmasi
va
dispersiya
kiradi.
5.1
Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi
Ta’rif.
X
diskret tasodifiy miqdorning
matematik kutilmasi
deb, uning
mumkin bо‘lgan qiymatlarini mos ehtimolliklariga kо‘paytmalari yig‘indisiga
teng songa aytiladi va
M(X)
yoki m
x
bilan belgilanadi.
Shunday qilib, agar
X
diskret tasodifiy miqdorning mumkin bо‘lgan
n
x
x
x
,
...
,
,
2
1
qiymatlari mos ravishda
n
p
p
р
,
...
,
,
2
1
ehtimolliklarni qabul
qilsa, u holda,ta’rifga kо‘ra
n
i
i
i
n
n
p
x
p
х
р
х
р
х
X
М
1
2
2
1
1
....
(5.1)
Agar tasodifiy miqdorning mumkin bо‘lgan qiymatlari sanoqli (cheksiz) bо‘lsa,
u holda,
1
2
2
1
1
....
....
i
i
i
n
n
x
p
x
p
x
p
x
p
x
m
1-misol.
Quyidagi taqsimot qonuni bilan berilgan
X
diskret tasodifiy
miqdorning matematik kutilmasini toping:
X
4
6
10
p
0,5
0,2
0,3
Yechish
2
,
6
3
,
0
10
2
,
0
6
5
,
0
4
3
3
2
2
1
1
p
x
p
x
p
x
X
M
Matematik kutilma quyidagi xossalarga ega:
1
.
C
C
M
, C
- о‘zgarmas, xususan,
X
M
X
M
M
2.
n
n
X
M
X
M
X
M
X
X
X
M
...
...
2
1
2
1
3.
n
n
X
M
X
M
X
M
X
X
X
M
...
...
2
1
2
1
,
xususan
,
X
CM
CX
M
.
4. Binomial taqsimotning matematik kutilmasi sinovlar sonini bitta sinovda
hodisaning rо‘y berish ehtimolligi kо‘paytmasiga teng:
np
X
M
(5.2)
Haqiqatdan,
n
k
n
j
n
j
n
j
n
j
j
n
k
n
k
n
k
n
o
k
n
k
k
n
k
k
n
k
k
n
n
np
np
j
P
np
q
p
C
np
q
p
k
n
k
n
np
q
p
k
n
k
n
k
q
p
kC
k
kP
X
M
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
.
1
!
!
1
!
1
!
!
!
5.Puasson taqsimotining matematik kutilmasi
32
X
М
,
np
(5.3)
Haqiqatdan,
.
!
1
!
0
1
1
e
e
k
e
k
e
k
k
kP
X
M
k
o
k
k
k
k
n
2-misol.
Agar
X
va
Y
tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi ma’lum, ya’ni
5
X
M
;
3
Y
M
bо‘lsa
,
Y
X
Z
2
tasodifiy miqdorning matematik
kutilmasini toping.
Yechish.
Matematik kutilmaning xossalaridan,
11
3
2
5
2
2
Y
M
X
M
Y
X
M
Z
M
Ta’rif.
X
M
X
tasodifiy miqdor
X
tasodifiy miqdorni о‘zining matematik
kutilmasidan
chetlanishi
(og‘ishi) deyiladi.
Chetlanish quyidagi taqsimot qonuniga ega:
X
M
X
X
M
x
1
X
M
x
2
…
X
M
x
n
p
p
1
p
2
…
p
n
Chetlanish
ning muhim xossalaridan biri
0
)
(
X
M
X
M
(5.4)
Haqiqatdan,
0
)
(
X
M
X
M
X
M
M
X
M
X
M
X
M
.
5.2
Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi
Taqsimot qonunlari turlicha, ammo, matematik kutilmalari bir xil bо‘lgan
tasodifiy miqdorlar ham uchrab turadi. Masalan,
X
va
Y
diskret tasodifiy
miqdorlar quyidagi taqsimot qonuni bilan berilgan bо‘lsin.
X
-2
0
2
Y
-6
0
3
p
0,4
0,2
0,4
p
0,3
0,1
0,6
Matematik kutilmalarni topamiz:
0
4
,
0
2
2
,
0
0
4
,
0
2
)
(
X
М
0
6
,
0
3
1
,
0
0
3
,
0
6
Y
М
Kо‘rinib turibdiki,
X
va
Y
diskret tasodifiy miqdorlar matematik kutilmalari
teng ammo, ularning mumkin bо‘lgan qiymatlari
X
uchun “yaqinroq”
Y
uchun
esa “tarqoqroq”.Demak, matematik kutilma tasodifiy miqdorni tо‘la
tavsiflamaydi. Amaliyotda, kо‘p hollarda tasodifiy miqdorning mumkin bо‘lgan
qiymatlarini uning о‘rtacha qiymati atrofida
tarqoqligini
baholash talab
qilinadi. Ravshanki, (5.4)dan
X
M
X
chetlanish yordamida
X
tasodifiy
miqdor о‘rtacha chetlanishini, ya’ni uning tarqoqlik darajasini aniqlab
bо‘lmaydi. Shu sababli, tasodifiy miqdor mumkin bо‘lgan qiymatlarini uning
matematik kutilmasi atrofida tarqoqligi darajasini aniqlash maqsadida chetlanish
kvadratining matematik kutilmasi qaraladi.
Ta’rif.
X
diskret tasodifiy miqdorning
dispersiyas
i (tarqoqligi) deb, uni
о‘zining matematik kutilmasidan chetlanishi kvadratining matematik
kutilmasiga aytiladi. Dispersiya
X
D
bilan belgilanadi. Shunday qilib,
2
X
M
X
M
X
D
(5.5)
33
yoki matematik kutilma xossalaridan foydalanib, dispersiyani hisoblash uchun
qulay bо‘lgan quyidagi formulani hosil qilish mumkin.
2
2
X
M
X
M
X
D
(5.6)
3-misol.
Yuqorida (1-misolda)gi taqsimot qonuni bilan berilgan
X
diskret
tasodifiy miqdorning dispersiyasini toping.
Yechish.
Ma’lumki,
6
X
M
, endi
X
2
miqdorning taqsimot qonunini
yozamiz.
X
2
4
2
6
2
10
2
P
0,2
0,3
0,5
yoki
X
2
16
36
100
P
0,2
0,3
0,5
2
X
M
matematik kutilmani topamiz.
64
50
8
,
10
2
,
3
5
,
0
100
3
,
0
36
2
,
0
16
2
X
M
Izlanayotgan dispersiya
28
6
64
2
2
2
X
M
X
M
X
D
.
Dispersiyaning asosiy xossalari
1)
0
C
D
,
C
-о‘zgarmas: 2)
X
D
C
CX
D
2
3)
,
Y
D
X
D
Y
X
D
xususan
X
D
C
X
D
.
Yuqorida, Binomial va Puasson taqsimoti matematik kutilmalari kabi
dispersiya uchun quyidagi formulalarni yozish mumkin(isbotini о‘quvchiga
qoldiramiz):
4) Binomial taqsimot uchun
p
q
npq
X
D
1
,
5) Puasson taqsimoti uchun
X
D
,
np
.
4-misol
Har birida hodisaning rо‘y berish ehtimolligi 0,7 ga teng bо‘lgan 20 ta
bog’liqsiz sinovda
X
diskret tasodifiy miqdor rо‘y berishlar soni dispersiyasini
toping.
Do'stlaringiz bilan baham: |
