Muxtor sistema m uxtor sistema traektoriyasining muhim xossasi

Ta’rif. (2) avtonom sistemaning holatlar fazosi deb shunday n o’lchovli fazoga aytiladiki, unda shu sistemaning yechimlari traektoriyalar bilan, sistemaning o’zi esa vektor maydon bilan tavsiflanadi. Traektoriyalar holat traektoriyalari deb, vektorlar holat tezliklari deb ataladi.
Teorema. Ushbu a = (a1,..., an) Dn (Dn = ) nuqta (2) sistemaning
muvozanat holati bo’lishi uchun, ya’ni shu sistemaning (t) = a, a = const ayniyat o’rinli bo’ladigan
x = (t)yechimi mavjud bo’lishi uchun D_n sohaning a nuqtasida holat tezligi nolga teng bo’lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zarurligi. a D_n nuqta muvozanat holati deylik. U holda (2) sistemaning ( t) = a ayniyat o’rinli bo’ladigan x = ( t )yechimi mavjud. Shuning uchun f(a) = . Demak, f (x) holat tezligi x = a nuqtada nolga aylanadi.
Yetarliligi. a Dn nuqtada f (a) = 0. Bu holda (t) = a funksiya (2) sistemaning yechimi bo’ladi. Haqiqatan, (t) = a C ¹, a D_n , (t) = va f(a) = 0. Teorema isbot bo’ldi.
Natija. (2) avtonom sistemaning mufozanat holatlari (nuqtalari) ushbu
f₁(a₁,...,a_n)=0
………………. (5)
f_n(a₁,...,a_n)=0
chekli tenglamalar sistemasining (unga hosilalar kirmaydi) yechimlaridan iborat. Xususan, = (x -1)³ tenglamaning muvozanat nuqtasi x = 1 nuqtadan iborat, chunki (x -1)³ = 0 tenglama shu yechimga ega, = (x -1)³(x + 2) tenglama ikkita x = 1, x = -2 muvozanat nuqtasiga ega. Yana ushbu


( , , - haqiqiy, 0, 0) sistemaning muvozanat holati koordinata boshidan iborat bo’lib, D₂ sohada butun tekislikdir. Shunga o’xshash = ax₁ – bx2, = bx₁ + ax2 (b , a - haqiqiy sonlar) sistemaning muvozanat holati ham koordinata boshidan iborat, chunki

s istema faqat trivial yechimga ega (sistemaning determinant a² + b² 0). Muvozanat nuqtalari sanoqli yoki sanoqsiz bo’lishi mumkin. Xususan, x = sin x uchun x = k (k - butun son) nuqtalar muvozanat nuqtalari bo’lib, sanoqli to’plamni tashkil qiladi. Sistema uchun x₁ = 0 chiziq (x₂ o’q) muvozanat holatini beradi.
Biz sanoqsiz to’plamga egamiz.
Agar x₁ = 0, x_k= a_k 0, i = 1,..., n, i k ,1 < k < n systema berilgan bo ’lsa, uning muvozanat nuqtasi mavjud emas, chunki f 0