Muxtor sistema m uxtor sistema traektoriyasining muhim xossasi

2.1 Muxtor sistema.
1-ta’rif. Agar oddiy differensial tenglamalar sistemasiga erkli uzgaruvchi oshkor kirmasa, bunday sistema muxtor sistema deyiladi va tsuyidagicha yoziladi:

(1)
bunda



Muxtor sistemalarning fizika va texnika masalalaridan kelib chik.ish ma’nosiga karab erkli uzgaruvchi sifatida t vakt olinadi. Bundan keyin biz shu belgilashni kabul kilamiz. Tarifdan kurinadiki, muxtor sistemalar bilan tasvirlanadigan noma’lum funksiyalarning uzgarish konuni vakt utishi bilan uzgarmaydi. Fizikaviy konunlarda odatda shunday buladi.
Normal muxtor sistema ushbu


(2)


=
ko’rinishida yoki


(3)
vektorli kurinishda yoziladi.
Agar bu (2) sistemada erkli uzgaruvchi t sifatida vaktni tushunilsa, bu sistema dinamik sistema deb ataladi. Keyingi muloxazalarda biz asosan dinamik sistemalar bilan ish kuramiz.
Biz kuyida bayon etadigan xossalar va tasdiklar umuman (1) kurinishdagi muxtor sistemalar uchun urinli. Ammo biz ularni (2) kurinishdagi normal muxtor sistemalar uchun isbotlaymiz.
Bundan keyingi muloxazalarimizda (3) vektor-tenglama vektor-funksiya biror soxada aniklangan va birinchi tartibli xususiy xosilalari bilan uzluksiz deb faraz etamiz.
1-teorema. Agar (3) normal muxtor vektor-tenglami berilgan bulib, vektor-funksiya uning biror yechimi bo’lsa, u uolda ixtiyoriy o’zgarmas C lar uchun = vektor funksiya ham (3) tenglamaning yechimi buladi.
I s b o t. Murakkab funksiyani differensiallash koidasi buyicha sodda xisoblashlar yordamida kuyidagini topamiz:



Endi funksiya (3) tenglamaning yechimi ekanini isbotlaymiz. Teoremaning shartiga kura x= funksiya (3) tenglamaning biror yechimi, demak, ushbu = ayniyat o’rinli. Bunda t ni t + C ga almashtirsak, = ayniyatga ega bo’lamiz. Topilgan munosabatdan





Shu bilan teorema isbot buldi.


Misol. Ushbu

sistemaning muvozanat holati va davriy yechimlarini toping. So’ngra (1,0) nuqtadan o’tadigan yopiq holat trayektoriyasi yoyi uzunligini hisoblang.
Yechish. Ma’lumki, yuqoridagi sistemaning umumiy yechimi

dan iborat. Bu yechim yana

(A > 0, a — ixtiyoriy o’zgarmas) ko’rinishda ham yozish mumkin. Ravshanki, + = A². Markazi koordinatalar boshida bo’lgan konsentrik aylanalar oilasi hosil bo’ldi. Bu aylanalar ichida (1,0) nuqtadan o’tadigani + = 1 . aylanadir, uning radiusi: A = 1. Bir tomondan, bu aylana yoyining uzunligi 2 ga teng. Ikkinchi tomondan, A = 1 bo’lganda shu aylananing parametrik tenglamasi

kabi yoziladi. Shuning uchun
. Demak, 2 = dan T = 2 kelib chiqadi. Eng kichik davr T = 2 dan iborat. Shu bilan birga k 2 ,к = ±2, ±3, ...sonlar ham davr bo’ladi.