Mustaqil yechish uchun misol va masalalar. 1-masala

funksional ketma-ketlikni a) 



x
0
 b) 
1
0


x
 oraliqlarda tekis yaqinlashishga tekshiring. 

Ikkala oraliqda ham 
 
x
f
n
ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo`lib, 
 
 
1
1
1
lim
lim
lim
















n
x
n
x
n
x
nx
x
n
x
n
x
f
x
f
n
n
n
n
bo`ladi. Endi tekis yaqinlashishga tekshirish uchun 
0
1
-punktdagi 1-
teoremadan foydalanamiz. 
 
 
 
nx
x
n
nx
nx
x
n
x
n
x
f
x
f
x
r
n
n










1
deb belgilasak, 1-teoremaga ko`ra 
 


x
f
n
ketma-ketlik M to`plamda tekis 
yaqinlashishi uchun ushbu 
 
0
lim




x
r
Sup
n
M
x
n
munosabatning bajarilishi zarur va yetarli. 
a) 



x
0
 
bo`lsin.
 






 
 












n
r
x
r
Sup
nx
x
n
x
x
n
n
x
r
n
n
x
n
,
0
2

---

229 








3
1
3
n
n
n
n
n
n
n
n


 
 
.
1
0
3
1
lim
,
0








x
f
x
r
Sup
n
n
x
n
b) 
1
0


x
bo`lsin. Bu oraliqda 
 
0


x
r
n
bo`lgani uchun 
 


 
 
 




















0
1
lim
lim
1
1
1
0
1
0
n
n
n
x
r
Sup
n
n
n
r
x
r
Sup
x
r
n
n
x
n
n
n
x
n
 
x
f
n

funksional ketma-ketlik 1 ga tekis yaqinlashmaydi. 
Demak, berilgan funksional ketma-ketlik 



x
0
toplamda 
notekis, 
1
0


x
to`plamda esa tekis yaqinlashar ekan.

 
3.21-masala. 
Veyershtrass 
alomatidan 
foydalanib, 














1
2
1
ln
1
ln
n
n
n
x
funksional qatorning 
2
0


x
oroliqda tekis 
yaqinlashishini ko`rsating. 
 

 
 












1
ln
1
ln
2
n
n
x
x
u
n
 
Berilgan
 
2
0


x
oraliqda quyidagi 
tengsizliklar o`rinli. 
 








.
1
ln
2
1
ln
1
ln
1
ln
1
ln
1
ln
2
2
2
2


























n
n
n
n
x
n
n
x
n
n
x
x
u
n
 
Agar 


1
ln
2
2



n
n
a
n
deb belgilasak, Koshining integral alomatiga 
ko`ra 











1
1
2
1
ln
1
n
n
n
n
n
a
sonli qator yaqinlashuvchi bo`ladi. Unda 
Veyershtras alomatiga ko`ra berilgan funksional qator 
2
0


x
oraliqda 
tekis yaqinlashuvchi. 

4.21-masala. Berilgan ushbu 

 
 










1
2
2
2
2
1
...
4
1
2
1
n
nx
x
x
n
 
funksional qatorning 



x
1
oraliqda tekis yoki notekis 
yaqinlashuvchiligini aniqlang. 

Bu qatorning tekis yaqinlashishini tekshirish uchun 2
0
-punktdagi 
1-teoremadan, ya`ni (10)-tenglikdan foydalanamiz. 
 

 
 









2
2
2
2
1
...
4
1
2
1
nx
x
x
n
x
u
n

---

230 

 




 

 

,...
3
,
2
,
2
1
...
4
1
2
1
1
1
2
1
...
4
1
2
1
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2





















n
nx
x
x
x
n
x
x
x
va
 
 
 

 
 






























n
k
k
n
nx
x
x
x
x
u
x
S
x
x
x
u
1
2
2
2
2
2
2
1
2
1
...
4
1
2
1
1
1
2
1
2
1
1
1
2
1






,
1
x
uchun 
 
 
2
2
1
lim
x
x
S
x
S
n
n




va 
   
 



x
S
x
S
x
r
n
n

 
 



      

















n
x
r
Sup
nx
x
x
n
x
2
1
...
4
1
2
1
1
2
1
...
4
1
2
1
1
,
1
2
2
2
 


 







0
lim
,
1
x
r
Sup
n
x
n
 
Berilgan 
qator 



,
1
oraliqda 
tekis 
yaqinlashadi.

 
5.21-masala. 

 

n
n
n
x
n
n







1
2
2
2
1
25
1
2
 
funksional 
qatorning 
yaqinlashish sohasini toping. 
 

 
Yaqinlashish sohasini Koshi alomatidan foydalanib, topamiz: 
 

 

1
2
1
25
1
25
1
2
lim
lim
2
2
2
2












x
x
n
n
x
u
n
n
n
n
n
n
n
 
bo`lsa, 
yaqinlashadi. 












5
1
;
5
1
5
1
25
1
2
x
x
x
da 
qator 
yaqinlashadi. Chegaraviy 
5
1


x
nuqtada esa 
1
5
1
2
2








n
n
u
n
bo`lib,
0
1
1
lim
1
lim
2
2














n
n
n
u
n
n
n
qator yaqinlashishining zaruriy sharti bajarilmaydi 

yaqinlashish sohasi 






5
1
;
5
1
interval ekan.

6.21-masala. Ushbu 






1
3
3
2
3
27
n
n
n
n
x
arctg
x
 
funksional qatorning yaqinlashish sohasini toping. 
 

 
Bu qatorning yaqinlashish sohasini Dalamber alomatidan 
foydalanib, topamiz: 

---

231 
 
 
1
27
3
3
2
5
2
3
lim
27
3
2
3
27
5
2
3
27
lim
lim
3
3
3
3
3
1
1

































x
x
n
n
x
x
n
x
arctg
x
n
x
arctg
x
x
u
x
u
n
n
n
n
n
n
n
n
n
 
bo`lsa yaqinlashadi. 

3
1

x
yoki 







3
1
;
3
1
x
da yaqinlashadi. 
Chegaraviy nuqtalarda tekshiramiz. 
1) 
3
1

x
bo`lsin 

















3
2
1
0
3
2
1
3
1
*
n
n
arctg
u
n
va 




1
3
2
1
n
n
uzoqlashuvchi 

berilgan qator 
3
1

x
nuqtada uzoqlashadi. 
2) 
3
1


x
bo`lsin 
 
3
2
1
1
3
1
1











n
arctg
u
n
n
va 
 






1
1
3
2
1
1
n
n
n
arctg
qator Lebnis alomatiga ko`ra yaqinlashuvchi 

berilgan qator 
3
1


x
nuqtada yaqinlashuvchi. 
Demak, berilgan funksional qatorning yaqinlashish sohasi 





3
1
;
3
1
yarim interval.
