Mustaqil yechish uchun misol va masalalar. 1-masala

7.21-masala. Berilgan 
 
.
3
1
1
1
ln
2








 


n
n
x
n
n
 
qatorning yaqinlashish sohasini toping. 

 
Koshi alomatiga ko`ra 
 
1
3
3
lim
lim
1
ln









 





x
n
x
n
n
n
n
n
x
u
bo`lsa, ya`ni 
0

x
bo`lganda berilgan qator yaqinlashadi. Chegaraviy 
0

x
nuqtada 
   
n
n
u
1
0


bo`lib, 
 




1
1
n
n
qator uzoqlashadi. 
Demak, berilgan qatorning yaqinlashish sohasi 



,
0
oraliqda iborat 
ekan.

 
8.21-masala. 

 
 

.
3
2
ln
2
1
1
2








n
n
x
n
n
funksional qatorning 
yaqinlashish sohasini toping. 

 
Qo`yilgan
 
masalani Dalamber alomatidan foydalanib yechamiz. 
Agar

---

232 
 
 

 
 


 
 



1
3
1
3
3
ln
3
3
2
ln
2
lim
lim
2
2
2
2
1


















x
x
n
n
x
n
n
x
u
x
u
n
n
n
n
n
n
bo`lsa, 
unda 
berilgan 
funksional 
qator 
yaqinlashadi 



 












;
4
2
;
1
3
1
3
2

x
x
x
to`plamda berilgan qator 
yaqinlashadi. Chegaraviy 
2

x
va 
4

x
nuqtalarda 
     
2
ln
2
1



n
n
x
u
n
bo`lib, 

 






1
2
ln
2
1
n
n
n
sonli qator Koshining integral alomatiga ko`ra 
uzoqlashadi 

Berilgan funksional qatorning yaqinlashish sohasi 

 





;
4
2
;
to`plamdan iborat.

 
9.21-masala. Ta`rifdan foydalanib
 





1
.
13
7
1
n
n
n
n
x
 
funksional qatorning 
 
1
;
0
kesmada tekis yaqinlashishini isbotlang 
 


?
0


n
. 
n
ning qanday qiymatlrida qatorning qoldig`i 
 
1
,
0


x
 
uchun 0, 1 dan katta bo`lmaydi? 
 

 
Bu masalani yechish uchun 
0



olinganda ham 
 
N
n
n




0
0
topishimiz kerakki, 
0
n
n


va barcha 
 
1
,
0

x
uchun
 
 






x
u
x
r
n
k
k
n
 
tengsizlik bajarilishi lozim. 
0



son olamiz 
va quyidagi baholashlarni amalga oshiramiz: 
 
 
 
 
 


 
































..
13
2
7
1
13
1
7
1
13
7
1
13
7
1
2
2
1
1
n
x
n
x
n
x
k
x
x
u
x
r
n
n
n
n
n
n
n
k
k
k
n
k
k
n
 












































...
13
4
7
1
13
3
7
1
13
2
7
1
13
1
7
1
13
7
1
1
n
n
n
n
n
x
n
n
0
13
1
7
1
13
1
7
1
13
7
13
7
1
13
7








 


















n
n
n
n
n
x
n
olinganda ham 
 











 

13
1
7
1
0


n
deb olsak, 
0
n
n


va 
 
1
,
0


x
lar 
uchun 
 





n
k
k
x
u
tengsizlik bajariladi. Bu esa 
 





1
13
7
1
n
n
n
n
x
funksional 
qator 
 
1
,
0
kesmada tekis yaqinlashishini anglatadi. 

---

233 
Masalaning ikkinchi qismini yechish uchun 
1
,
0


deyish kifoya 

 





















3
7
23
13
1
,
0
1
7
1
0

n
barcha 
3

n
lar uchun 
 
1
,
0

x
r
n
bo`ladi. 
 
10.21-masala. 










1
2
1
2
2
n
n
n
n
x
funksional qator uchun uni 
 
3
;
1
 
kesmada majorirlovchi qatorni toping va ko`rsatilgan oraliqda tekis 
yaqinlashishini isbotlang. 
 

 
 
3
,
1


x
uchun 
 




n
n
n
n
n
n
x
x
u
2
1
2
1
2
1
2
2







bo`lib, 


n
n
n
a
2
1
2
1



desak, 











1
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
a
sonli qator berilgan qator 
uchun uni majorirlovchi qator bo`ladi. 



1
n
n
a
qator yaqinlashuvchi bo`lgani 
uchun Veyershtrass alomatiga ko`ra berilgan 










1
2
1
2
2
n
n
n
n
x
 
qatorning 
 
3
;
1
kesmada tekis yaqinlashuvchi ekanligini hosil qilamiz.

 
11.21-masala. 
 


.
2
3
ln
2



x
x
x
f
 funksiyani Makloren qatoriga 
yoying. 
 
Bu masalani yechish uchun
 


















 















2
1
ln
2
ln
1
ln
2
ln
1
ln
2
1
ln
.
2
3
ln
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
 
deb olib
, 
5
0
-
punktda keltirilgan 


 











1
1
1
,
1
,
1
1
ln
n
n
n
x
n
x
x
tenglikdan foydalanamiz: 




 
 



























 






1
1
1
1
2
2
1
1
2
ln
2
1
ln
1
ln
2
ln
.
2
3
ln
n
n
n
n
n
n
x
n
n
x
x
x
x
x
 









 



1
1
.
2
1
1
1
2
ln
n
n
n
n
x
n
