Mustaqil ish Mavzu: Baza bo’yicha Limit tushunchasi Fan: Matematik analiz

7-ta’rif. Agar

bo‘lsa, son funksiyaning nuqtadagi chap limiti deyiladi va

kabi belgilanadi.
Faraz qilaylik, funksiya to‘plamda berilgan, nuqta ning o‘ng limit nuqtasi bo‘lib,

bo‘lsin.
8-ta’rif. Agar

bo‘lsa, son funksiyaning nuqtadagi o‘ng limiti deyiladi va

kabi belgilanadi.
Masalan,

funksiyaning 0 nuqtadagi o‘ng limiti 1, chap limiti –1 bo‘ladi.

 
5.Limitlar haqidagi teoremalar
Funksiyaning limiti haqidagi asosiy teoremalar (yig`indi, ko`paytma, bo`linma haqidagi) ketma-ketlik limitlarining teoremalariga o`xshash funksiyaning limitini hisoblashni ham osonlashtiradi.
1-teorema. Funksiyalar yig`indisining (ayirmasining) limiti shu funksiyalar limitlarining yig`indisiga(ayirmasiga) teng:

2-teorema. Funksiyalar ko`paytmasining limiti shu funksiyalar limitlarining ko`paytmasiga teng:

Natija. O`zgarmas ko`paytuvchini limit ishorasining oldiga chiqarish mumkin
3-teorema. Funksiyalar bo`linmasining limiti shu funksiyalar limitlarining bo`linmasiga teng, qachonki, bo`luvchi funksiyaning limiti noldan farqli bo`lganda:
,
4-teorema. Agar  va  funksiyalari uchun a nuqtaning biror oralig`ida  tengsizliklar bajarilib,  bo`lsa u holda  bo`ladi.
1-misol.   ni hisoblang.
Yechish. Funksiyaning limitlari haqidagi teoremalardan foydalanib, quyidagilarni topamiz:

2-misol.  ni hisoblang.
Yechish. Maxrajning limitini topamiz:

Shuning uchun 3-teoremadan foydalanamiz:

5. Limitga ega bo‘lgan funksiyalarning xossalari.
Chekli limitga ega bo‘lgan funksiyalar ham yaqinlashuvchi ketma-ketlik singari qator xossalarga ega.
Faraz qilaylik, funksiya to‘plamda berilgan bo‘lib, nuqta ning limit nuqtasi bo‘lsin.
1-xossa. Agar da funksiya limitga ega bo‘lsa, u yagona bo‘ladi.
Bu xossaning isboti limit ta’riflarining ekvivalentligi hamda ketma-ketlik limitining yagonaligidan kelib chiqadi.
2-xossa. Agar
, ( – chekli son)
bo‘lsa, u holda nuqtaning shunday atrofi topiladiki, bu atrofda funksiya chegaralangan bo‘ladi.
Aytaylik,

bo‘lsin. Funksiya limiti ta’rifga binoan
da
ya’ni bo‘ladi. Keyingi tengsizliklardan funksiyaning nuqtaning atrofida chegaralanganligi kelib chiqadi.
3-xossa. Agar

bo‘lib, bo‘lsa, u holda nuqtaning shunday atrofi topiladiki, bu atrofda

bo‘ladi.
Shartga ko‘ra
.
Funksiyaning limiti ta’rifiga ko‘ra uchun shunday son topiladiki, , , uchun

bo‘ladi. Bu esa da bo‘lishini bildiradi.
Faraz qilaylik, va funksiyalar to‘plamda berilgan bo‘lib, nuqta to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin.
4-xossa.  Agar
,
bo‘lib, da tengsizlik bajarilsa, u holda , ya’ni

bo‘ladi.
Aytaylik,
,
bo‘lsin.
Funksiya limitining Geyne ta’rifiga ko‘ra ga intiluvchi ixtiyoriy

ketma-ketlik uchun

da ,

(1)

bo‘ladi.
Ravshanki, da

(2)

Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning xossalaridan foydalanib, (1) va (2) munosabatlardan , ya’ni bo‘lishini topamiz. ►
5-xossa. Faraz qilaylik,
,
limitlar mavjud bo‘lsin. U holda
a) da ;
b)
v)
g) Agar bo‘lsa, ;
bo‘ladi.
Bu tasdiqlarning isboti sonlar ketma-ketliklari ustida arifmetik amallar bajarilishi haqidagi ma’lumotlardan kelib chiqadi.