Muqaddima

Integrallash usuli

Agar bir jinsli qattiq jismni chekli sondagi sodda geometrik shakllarga ajratishning iloji bo’lmasa, u holda og’irlik markazi koordinatalarni (7.4), (7.5), (7.6) formulalar yordamida aniqlash uchun bu formulalarda bo’lakchalar soni n cheksizlikka intiladi, ularning o’lchovlari nolga intiladi. Bu formulalarda limitga o’tib hajm og’irlik markazining koordinatalari quyidagi formulalar yordamida aniqlanadi:
(7.11)
Sirt og’irlik markazining koordinatalari quyidagi formulalar yordamida aniqlanadi:

bu yerda S – sirt yuzasi.
Agar sirt tekis shakl bo’lsa va XOY tekislik shu shakl tekisligida olinsa, yuqoridagi formulalar quyidagicha yoziladi:
(7.12)
Кo’ndalang qirqim yuzalari o’zgarmas va bir jinsli moddadan iborat chiziqning og’irlik markazining koordinatalari quyidagi formulalar yordamida aniqlanadi:
(7.13)
25-masala

Aylana qismi (yoyi) og’irlik markazining koordinatalari aniqlansin. Markaziy burchagi bo’lgan R radiusli AB aylana yoyini olamiz (98-shakl). Aylana yoyi simmetriya o’qiga ega OX koordinata o’qidir. Isbot qilingan teoremaga asosan yonning og’irlik markazi uning simmetriya o’qida yotishi kerak, ya’ni Y_C=0 koordinata X_C quyidagi formula yordamida aniqlanadi.

og’irlik markazining abssissasi x bo’lgan yoydan cheksiz kichik elementar dl bo’lakchani ajratib olamiz. U holda

quyidagi ifodalarni dl x va (7.14) formulaga qo’yib, bo’yicha integrallab, quyidagini olamiz:

Demak
(7.15)
yarim aylana uchun bo’lganda

bo’ladi (98-shakl).

98-shakl
26-masala

Doira shaklli sektor yuzaning og’irlik markazi koordinatlarini aniqlang. Ixtiyorimizda R radiusli va markaziy burchagi bo’lgan doira sektor yuzi mavjud. 99-shakl sektor yuzasining simmetriya o’qini OX koordinata o’qi sifatida qabul qilib va OC=x masofani quyidagi formula yordamida aniqlaymiz:

(7.17)
markaziy burchagi bo’lgan cheksiz kichik Oab sektor yuzachani ajratamiz. Xuddi teng yonli uchburchak deb qaralgan bu elementar bo’lakchaning og’irlik markazi c' nuqtada bo’lib, bu masofa quyidagiga teng , bu c' markaz nuqtaning koordinatasi quyidagiga teng

yuzacha

sektor yuzasi

olingan ifodalar S₁,dS larni (7.17) formulaga qo’yib va bo’yicha integrallab, quyidagini olamiz.

demak,
(7.18)
sektor o’rnida yarim doira bo’lsa

bo’lib,

qiymatga ega

99-shakl
27-masala

Balandligi H va asosining radiusi R bo’lgan to’g’ri doiraviy konus og’irlik markazining koordinatalari aniqlansin, konusning simmetriya o’qini OZ koordinata o’qi sifatida olamiz. U holda , Z_c koordinata quyidagi formula yordamida aniqlanadi:

(7.20).



100-shakl

Кonus asosidan Z masofa balandlik dz va radiusi r bo’lgan silindr ko’rinishdagi cheksiz kichik bir element hajmini ajratamiz(100-shakl). Bu element hajmi quyidagiga teng:

radius ni AOB va O₁AB₁ uchburchaklarning o’xshashligidan aniqlanadi:

bundan

u holda

konusning hajmi quyidagiga teng: bo’lgani uchun (7.20) ga asosan
(7.21)