Muqaddima

2. Juftning ekvivalentligi


Ta’rif:
Juftning jismga beradigan ta’sirini o’zgartirmay boshqa juft bilan almashtirish mumkin bo’lsa, bunday ikki juft o’zaro ekvivalent juftlar deb ataladi. Quyidagi teorema juftlar ekvivalentligining sharti bo’la oladi.
Teorema:
Momentlari o’zaro teng va burilish yo’nalishlari bir xil bo’lgan bir tekislikda joylashgan ikki juft o’zaro ekvivalent bo’ladi.
Isbot: Aytaylik, momenti o’zaro teng, bir xil burilishga ega bo’lgan bir tekislikda joylashgan ( ) va ( ) (38-shakl) juftlar berilgan, ya’ni,
Pd₁= Qd₂ (3.6)



38-shakl

Juftlarni tashkil etuvchi kuchlarning ta’sir chiziqlarini ular A va B nuqtalarda kesishguncha davom ettiramiz. Kuchlar P va P’ ni A va B nuqtalarga keltirib mos ravishda va tashkil etuvchilarga ajratamiz. Osonlikcha lar miqdor jihatidan tengligini, yo’nalish jihatidan bir chiziq bo’ylab qarama-qarshi yo’nalib, o’zaro muvozanatlashganligini ko’rish mumkin. Ikkinchi aksiomaga asosan bu kuchlar sistemasini e’tiborga olmasak ham bo’ladi. Miqdorlari o’zaro teng bo’lib, juft tashkil etuvchi P₁ va P₁’ kuchlar qoldi. Bu ( ) juftga ekvivalentdir. Bu yerda ( ) juftning jismga ta’sirini o’zgartirmay, ularning tashkil etuvchi kuchlari ustida amal bajariladi. Bu ikki ( ) va ( ); juftlarning momentlari o’zaro tengligini osonlikcha ko’rsatish mumkin. Teng ta’sir etuvchining momenti haqidagi Varin’on teoremasi, (3.5) formulalardan quyidagini olamiz:

(3.6)
chunki, , vaholanki
U holda, , ya’ni Pd₁= P₁d₂
Ikkinchi tomondan teorema shartiga asosan Pd₁= Qd₂, binobarin, bundan quyidagi kelib chiqadi P₁=Q va P₁’=Q₁’. Modomiki, juft ( ) juft ( ) ga ekvivalent ekan, u holda juft ( ) ga ham ekvivalent bo’ladi. Shuni isbot etish talab etilgan edi.


Natijalar:

1. 
   Juftni jismga ta’sirini o’zgartirmay, o’z ta’sir tekisligida ixtiyoriy holatga keltirish mumkin.
   
2. 
   Juftni jismga ta’sirini o’zgartirmay, juft momenti o’zgarmas qolib, uning tashkil etuvchilari va yelkasini o’zgartirish mumkin.
   

Ikki juftni har doim bitta umumiy yelkaga keltirish mumkin, masalan, AB balkaga qo’yilgan ( ) juftni (39-a shakl), yuqorida keltirilgan natijalarga asosan ( ) (39-b shakl) ga almashtirish mumkin. Bu juftning tashkil etuvchilari quyidagi shartdan P2a=Ql aniqlanadi, bundan .


40-shakl
Isbot qilingan teorema va keltirilgan natijalardan, tekislikda juftning jismga ta’siri uning momenti bilan baholanar ekan. Shuning uchun odatda juftni uning momenti va aylanish yo’nalishini ko’rsatuvchi buralma strelkalar yordamida tasvirlanadi (40-shakl).

3.