Mundarija Kirish I bob. Topologik fazolarning xossalari

1.3.2.-teorema. kesma bog‘lamlidir.
Isboti. Buning aksini faraz qilamiz, ya’ni kesma bog‘lamli bo‘lmasin. U holda kesmani ikkita bo‘sh bo‘lmagan kesishmaydigan ochiq to‘plamlar birlashmasi sifatida ifodalash mumkin. Ya’ni, . va lar ochiq to‘plamlar. Aytaylik, . Shuni aytish kerakki, va to‘plamlar da yopiqdir, chunki kesmaning o‘zi da yopiq bo‘lganligi sababli to‘plam bo‘sh emas, chunki . Agar bo‘lsa, yopiq to‘plam bo‘lgani uchun son yuqori chegara bo‘lganligi sababli ixtiyoriy uchun . Bundan ko‘rinadiki, nuqta uchun tegish nuqtasidir. Ya’ni, , ning yopiq ekanligidan . Bu ni bildiradi. Bu ziddiyat ning yopiq ekanligini isbotlaydi. Demak, kesma bog‘lamli ekan.
Eslatma. Keltirilgan 1.3.2-teoremadan va 1.3.1-misoldan ma’lum bo‘lmoqdaki, fazoning yoki fazoostining bog‘lamli bo‘lishi yoki bo‘lmasligi unda qaralayotgan topologiyaga bog‘liq ekan.
1.3.3.Teorema. Evklid fazosi da ixtiyoriy qavariq to‘plam bog‘lamlidir.
Isbot. Aytaylik, to‘plam qavariq bo‘lsin, ya’ni ixtiyoriy nuqtalar uchun o‘rinli.
Buning aksini faraz qilamiz, ya’ni bo‘sh bo‘lmagan ochiq to‘plamlar hamda
to‘plamni olaylik, bu yerda va .
Endi va to‘plamlarni ko‘raylik. Bu to‘plamlar bo‘sh bo‘lmagan kesishmaydigan to‘plamlardan iborat. Ular uchun tenglik o‘rinlidir. Bu esa, kesmaning bog‘lamliligiga ziddir.
Evklid fazosi da quyidagi to‘plamlarni olamiz.

─ ochiq shar, ─ yopiq shar deyiladi, ba’zida ular mos ravishda ochiq (yopiq) “disk” deb ham yuritiladi. Yuqoridagi teoremadan bevosita quyidagilar kelib chiqadi.