Mundarija Kirish I bob. Topologik fazolarning xossalari

1.3.5.Ta’rif. Agar topologik fazoning ixtiyoriy ikki har xil nuqtasi o‘zaro kesishmaydigan atroflarga ega bo‘lsa, u fazo yoki Xausdorf fazosi (yoki Xausdorf topologiyali fazo) deyiladi.
Ma’lumki, ixtiyoriy Xausdorf fazosi fazo bo‘ladi, lekin buning teskarisi doimo ham o‘rinli emas. Ta’rifdan yana shuni anglash mumkinki, fazoning Xausdorf fazosi bo‘lishi nasliy xususiyatga ega, ya’ni uning ixtiyoriy fazoostisi ham Xausdorof fazosiniki bo‘lishidir. Xausdorf fazosining yana bir muhim xossasi ─ bu fazoda ixtiyoriy ketma-ketlikning limiti yagona bo‘ladi. x_n ketma-ketlik limitining ikki va nuqtalari bo‘lib, va ularning o‘zaro kesishmaydigan atroflari deylik. Ketma-ketlik limitining ta’rifiga ko‘ra, bu atroflarning biri ketma-ketlikning chekli elementlarini o‘zida saqlaydi. Bu ta’rifning shartiga ziddir.
1.3.6.Ta’rif. Agar fazoning ixtiyoriy yopiq to‘plami va ixtiyoriy nuqtasi fazoda shunday ochiq o‘zaro kesishmaydigan atroflarga ega bo‘lsa, topologik fazo topologik fazo deyiladi,
Agar topologik fazo bir vaqtda ham fazo, ham fazolar bo‘lsa, u holda u regulyar fazo deyiladi. Bu ta’rifdan ko‘rinadiki, regulyar fazo Xausdorf fazosi bo‘lar ekan. Lekin buning aksi doimo o‘rinli emas.
Regulyar fazolarga ixtiyoriy metrik fazolar misol bo‘ladi, xususiy holda fazo ham regulyar fazodir.
1.3.2. Misol. Aytaylik, barcha haqiqiy sonlar to‘plamidan iborat bo‘lib, topologiya atroflar natijasida (orqali) aniqlangan bo‘lsin. Bu topologiyada nol nuqtadan boshqa barcha nuqtalarning atrofi, to‘g‘ri chiziqdagi nuqtaning interval ko‘rinishidagi atrofini olamiz. Nol nuqtaning atrofi deb uning to‘g‘ri chiziqdagi interval ko‘rinishdagi atrofidan sonlar o‘qining nuqtalari chiqarib tashlangan to‘plamlarini olamiz. Ya’ni, ixtiyoriy .
Agar to‘plamni olsak, to‘plam sonlar o‘qida yopiq to‘plamlardir. Nol nuqta va to‘plam bu yerda o‘zaro kesishmaydigan atroflarga ega bo‘lmaydi. Ya’ni, shunday aniq atroflar mavjud emas. Bu fazoning regulyar fazo emasligini ko‘rsatadi. Lekin bu fazoda ixtiyoriy ikki har xil nuqta o‘zaro kesishmaydigan atroflarga ega. Demak, bu topologik fazo Xausdorf fazosi ekan.
Endi elementlari soni ikkitadan ortiq to‘plamlardagi trivial topologiyani ko‘rsak, bu fazolar fazoga sodda misol bo‘la oladi, lekin ular regulyar fazo emas, chunki bunday fazolar fazo emasdir.
Regulyar fazolarning xossalariga keladigan bo‘lsak, fazoning regulyarligi – bu nasliy xarakterga ega, ya’ni regulyar fazolarning ixtiyoriy to‘plamostisi ham regulyar bo‘ladi. Bundan xususiy holda kelib chiqadiki, regulyar fazolarning to‘g‘ri ko‘paytmasi regulyar bo‘lsa, uning har bir ko‘paytuvchisi regulyar bo‘ladi. Nihoyat, regulyar fazolar ixtiyoriy oilasining Tixonov ko‘paytmasi ham regulyar fazo bo‘ladi. Shuni aytish mumkinki, regulyar fazodagi faktor-topologiya doimo regulyar fazo bo‘lavermaydi.