Mundarija Kirish I bob. Topologik fazolarning xossalari

1.4.4-Misol. - barcha haqiqiy sonlar to’plami bo’lsin. oila sonlar o’qida baza hosil qiladi, bu yerda -barcha ratsional sonlar to’plami. Sonlar o’qida oila ham baza tashkil qiladi, bunda - barcha irratsional sonlar to’plami. Sonlar o’qining salmog’i quyidagicha aniqlanadi: . Demak, sonlar o’qi sanoqli bazaga ega ekan.
1.4.5- Misol. tekislikda har xil usulda bazalar kiritish mumkin. Ravshanki, quyidagi oilalar tekislikda da baza tashkil qiladi: , , , . Tekislikning salmog’i quyidagicha aniqlanadi: . Demak, tekislikning salmog’i sanoqli ega.
Ixtiyoriy topologik fazoning zichligi, quvvati hamda quvvati uchun quyidagi teorema o’rinli.
1.4.3-Teorema. Ixtiyoriy topologik fazo berilgan bo’lsin. U holda

munosabat har doim bajariladi.
Bizga topologik fazo berilgan bo’lsin. - qism oilani topologik fazoning -bazasi deymiz agar, ixtiyoriy - bo’sh bo’lmagan, ochiq qism to’plam uchun munosabat o’rinli bo’ladigan element har doim mavjud bo’lsa.
topologik fazoning - salmog’i quyidagicha aniqlanadi:
.
Quyidagi teorema ixtiyoriy topologik fazoning zichligi, - salmog’i, salmog’i hamda quvvati kabi kardinal xossalari orasidagi munosabatni belgilaydi.
1.4.4-Teorema. Ixtiyoriy topologik fazo berilgan bo’lsin. U holda

munosabat har doim bajariladi.
II BOB. Xattori fazosi. Xattori fazosining kardinal va topologik xossalari
2.1. Xattori fazosi
Bu paragrafda haqiqiy sonlar o’qida qurilgan Xattori topologiyasini o’rganamiz.
Bizga _{- haqiqiy sonlar to’plami va - barcha intervallar oilasi berilgan bo’lsin, bunda} , va - ratsional son.
Bizga ma’lumki, oila baza xossalarini qanoatlantiradi. oilaning elementlari shu baza tomonidan hosil qilingan topologiyaga nisbatan ochiq-yopiq to’plamlar. Bizga ma’lumki tenglik o’rinli. oilaning elementlari topologiya tashkil qilib, topologik fazo aksiomalari ni qanoatlantiradi.
Bunday topoogiyaga ega bo’lgan fazo Zorgenfrey chizig’i deyiladi va yoki qisqacha ko’rinishda belgilanadi.
- haqiqiy sonlar o’qi va uning qismi bo’lgan to’plam berilgan bo’lsin. - haqiqiy sonlar o’qining topologiyasini Xattori quyidagicha aniqlaydi:

1. 
   Agar ixtiyoriy nuqta uchun bo’lsa, uning bazaviy atrofi
   

to’plamdan iborat bo’lsin;

2. 
   Agar ixtiyoriy nuqta uchun bo’lsa, uning bazaviy atrofi
   

to’plamdan iborat bo’lsin.
Xattori topologiyasiga ega bo’lgan fazo Xattori fazosi deyiladi va
ko’rinishda belgilanadi.
fazoda - Yevklid topologiyasi berilgan bo’lsin. Ixtiyoriy qism to’plamlar uchun munosabat o’rinli bo’ladi, faqat va faqat munosabat o’rinli bo’lsa. Yuqoridagi munosabatlardan va tengliklar o’rinli ekanligi kelib chiqadi.
ifodani kiritamiz. to’plamda qisman tartib munosabatni kiritamiz: bunda o’rinli bo’ladi, faqat va faqat munosabat bajarilganda.