Mundarija Kirish I bob. Topologik fazolarning xossalari

1.4.3-Misol. - haqiqiy sonlar to’plamida - rasional sonlar to’plami hamda - irrasional sonlar to’plami zich to’plamlar bo’ladi. Lekin ushbu to’plamda - natural sonlar to’plami zich emas. Bu to’plamlarning quvvatlari mos ravishda va bo’lganligidan haqiqiy sonlar to’plami zichligi - sanoqli bo’lar ekan. Demak, haqiqiy sonlar to’plami unda aniqlangan tabiiy topologiya bilan birga separabel fazo bo’lar ekan.
Ixtiyoriy - topologik fazoning quvvati hamda zichligi orasida quyidagi munosabat o’rinlidir.
1.4.1-Teorema. - topologik fazoning zichligi uning quvvatidan oshib ketmaydi, ya’ni tengsizlik ixtiyoriy topologik fazo uchun har doim o’rinlidir.
1.4.2-ta’rif. topologik fazoning ixtiyoriy ochiq to’plamini oilaga tegishli to’plamlarning birlashmasi ko’rinishida ifodalash mumkin bo’lsa, oilaga fazoning bazasi deyiladi.
1.4.2-teorema topologik fazoning ochiq qism to’plamlaridan iborat oila shu fazoning bazasi bo’lishi uchun ixtiyoriy nuqta va bu nuqtaning ixtiyoriy atrofi uchun to’plam mavjud bo’lib,

shartning bajarilishi zarur va yetarli.
Isboti. Zarurligi. Ixtiyoriy - nuqta va uning ixtiyoriy atrofi berilgan bo’lsin. oila topologik fazoning bazasi bo’lganligi uchun shunday ochiq to’plamlar mavjudki, bu ochiq to’plamlar uchun shart bajariladi. U holda shunday topilib, bo’ladi. Bundan ekanligi kelib chiqadi.
Yetarliligi. Bizga ixtiyoriy bo’sh bo’lmagan to’plam berilgan bo’lsin. U holda ixtiyoriy nuqtasi uchun shunday to’plam mavjud bo’lib, shart o’rinli bo’ladi. Agar nuqtani bo’yicha siljitib chiqsak, u holda bo’ladi. Demak, oila topologik fazoda baza tashkil qilar ekan. 2-teorema isbotlandi.
Ma’lumki, har qanday topologik fazo ko’pgina bazalarga ega bo’lishi mumkin. Ixtiyoriy baza quyidagi xossalarga ega:
(V1) Har qanday to’plamlar va ixtiyoriy nuqta uchun shunday element topilib, o’rinli bo’ladi.
(V2) Ixtiyoriy uchun shunday element topilib, o’rinli bo’ladi.
Isboti. (V1) ning isboti. Ixtiyoriy to’plamlar va ixtiyoriy nuqta berilgan bo’lsin. U holda, (O2) shartga ko’ra - ochiq to’plam bo’ladi. Bazaning xossasiga ko’ra shunday ochiq to’plamlar oilasi mavjudki, bu uchun o’rinli bo’ladi. U holda shunday ochiq to’plam mavjudki, bu uchun shart bajariladi.
(V2) ning isboti. (O1) shartga ko’ra - ochiq to’plam bo’ladi, u holda har bir nuqta uchun shunday element topilib, shart bajariladi.
1.4.3-Ta’rif. topologik fazo va unig bazalari oilasi berilgan bo’lsin. ko’rinishdagi barcha kardinal sonlar to’plami eng kichik kardinal songa ega (kardinal sonlar < munosabatga nisbatan to’la tartiblangan ekanligidan). Bu eng kichik kardinal songa topologik fazoning salmog’i deyiladi va kabi belgilanadi.
Agar topologik fazoning salmog’i sanoqli bo’lsa bo’lsa, u holda bunday topologik fazoga sanoqlilikning ikkinchi aksiomasini qanoatlantiruvchi topologik fazo deyiladi.