|
1.1.1.Teorema.Yopilma operatori quyidagi xossalarga ega:
.
.
.
.
Isbot: va xossalar bevosita ta’rifdan kelib chiqadi, dan esa to’plamning yopiq ekanligi kelib chiqadi.
dan va kelib chiqadi. Demak,
dan , bo’lib, bunga ko’ra .
Oxirgi birlashma ikkita yopiq to’plamlarning birlashmasi uchun yopiq bo’ladi. Bundan to’plam yopilmasi ta’rifiga ko’ra
ga ega bo’lamiz.
va (2) dan munosabat kelib chiqadi. Teorema isbotlandi.
to’plamning ichki qismi deb, ga tegishli bo’lgan barcha ochiq to’plamlarning birlashmasiga aytiladi. Ya’ni ga tegishli bo’lgan eng katta ochiq to’plamdir. to’plamning ichki qismi orqali belgilanadi. Ravshanki, to’plam ochiq bo’lsa, u holda o’zining ichki qismi bilan ustma-ust tushadi.
1.1.2.Teorema. Ixtiyoriy to’plam uchun tenglik o’rinli bo’ladi.
Isbot. dan ga ega bo’lamiz. U holda to’plam
ochiq bo’lgani uchun
munosabat o’rinli.
A ga tegishli bo’lgan ixtiyoriy ochiq to’plam uchun bo’ladi. U holda yoki .
Xususan, bo’lib, bundan va dan kelib chiqadi, isbotlandi.
1.1.3.Teorema. operatori quyidagi hossalarga ega:
1.2.3.-ta’rif. - ixtiyoriy to’plam va - to’plamning barcha qism
to’plamlari to’plami. Ravshanki topologik fazo bo’ladi, har bir to’plam- yopiq. ni o’z ichiga oluvchi har qanday to’plam uning atrofi bo’ladi. to’plamning barcha bir nuqtali qism to’plamlari oilasi fazoning bazasi bo’ladi. Bu baza fazoning barcha bazalari ichida eng quvvatlisidir. Shuning uchun fazoning salmog’i to’plamning quvvatiga tengdir.
Ixtiyoriy nuqta uchun bitta to’plamdan iborat oila fazoning nuqtadagi bazasi bo’ladi. Bu esa fazo sanoqlilik aksiomalaridan birinchisini qanoatlantirishini ko’rsatadi.
Har bir to’plam o’zining yopilmasi va ichki qismi bilan ustma- ust tushadi. Bu topologik fazo diskret fazo, ga esa diskret topologiya deyiladi.
1.2.4.-ta’rif. - ixtiyoriy cheksiz to’plam, - dagi biror nuqta, - ni
o’z ichiga olmagan barcha qism to’plam va chelki to’ldiruvchiga ega bo’lgan qism to’plamlar oilasi. - topologik fazo bo’lishini ko’rsatish qiyin emas. to’plamning dan tashqari barcha bir nuqtali to’plamlaro ochiq-yopiq to’plam bo’ladi.
to’plam ochiq ham emas, yopiq ham emas. Bir nuqtali to’plamlardan va , bunda chekli to’plam ko’rinishidagi to’plamlardan tuzilgan oila fazoning bazasini hosil qiladi. Bu baza eng kichik quvvatga ega.
Shuning uchun fazoning salmog’i to’plamning quvvatiga teng. Barcha bir nuqtali , to’plamlardan va ko’rinishidagi to’plamlardan tuzilgan oila fazoning oldbazasi bo’ladi. Har bir uchun quyidagilarga egamiz:
Bu esa to’plamning ixtiyoriy yopiq cheksiz qism to’plami bo’sh bo’lmagan kesishmaga ega ekanligini ko’rsatadi.
1.2.6.Misol. - haqiqiy sonlar to’plami, barcha lar uchun shunday
mavjud bo’lib bo’ladigan to’plam oilasini bilan belgilaymiz.
Ravshanki oila shartlarini qanoatlantiradi. Ketma-ketlik limitining aniqlanishiga ko’ra, agar to’plamga har qanday yaqinlashuvchi ketma-ketlik bilan bir vaqtda uning limiti ham tegishli bo’lsa, bu to’plam yopiq bo’ladi. Chegaralari ratsional sonlar bo’lgan barcha ochiq intervallar oilasi fazoning bazasini hosil qiladi. Bu baza eng kichik quvvatga ega bo’lgan baza bo’ladi, shuning uchun fazo ikkinchi sanoqlilik aksiomasini qanoatlantiradi, demak birinchi sanoqlilik aksiomasini ham qanoatlantiradi.
Yuqorida kiritilgan topologiya haqiqay sonlar to’plamidagi tabiiy topologiya deyiladi.
1.2.7.Misol. - yopiq birlik kesma - ko’rinishidagi to’plamlar oilasi bo’lib, bu yerda to’plam dagi tabiiy topologiyada ochiq. Demak, topologik fazo. , ni ko’rinishidagi intervallar oilasi fazoning bazasini hosil qiladi, bu yerda , ratsional sonlar va , oxirgi ikkita ko’rinishdagi intervallar oldbaza hosil qiladi.
fazo birinchi va ikkinchi sanoqlilik aksiomalarini qanoatlantiradi.
to’plamning da yopiq bo’lishi uchun ning da yopiq bo’lishi zarur va yetarlidir. Yuqorida keltirilgan topologiya ning tabiiy topologiyasi deyiladi. Yuqoridagi misollardan ko’rinadiki, berilgan to’plam uchun topologik fazo bo’ladigan oilani turli usullar bilan tanlash mumkin ekan. va lar dagi topologiyalar bo’lsin. Agar munosabat o’rinli bo’lsa, topologiya topologiyaga nisbatan kuchliroq deyiladi. dagi eng kuchsiz
topologiya bu va dan tuzilgan topologiyalardir.
Topologik fazoning qism to’plami uchun munosabat o’rinli bo’lsa, u topologik ochiq to’plam deyiladi.
Topologik fazoning shartni qanoatlantiruvchi qism to’plami kanonik yopiq top’lam deyiladi.
- ixtiyoriy to’plam bo’lsin. to’plamda topologiya kiritish deganda to’plamning shartlarini qanoatlantiruvchi qism to’plamlarining oilaning tanlanishi tushunamiz. Topologiyalar ochiq to’plamlarni bevosita ko’rsatish bilan, baza orqali, atroflar sistemasi bilan, yopiq to’plamlar sistemasi bilan, yoki yopilma operatori, ikki qismini olish shartlari orqali kiritilishi mumkin.
1.2.4.Teorema. to’plam va shartlarni qanoatlantiruvchi uning
qism to’plamlarining oilasi berilgan bo’lsin. to’plam oilaning qism oilalarining birlashmasidan iborat bo’lgan, qism to’plamlari ( ning) oilasi bo’lsin. Ya’ni
oila shartlarni qanoatlantiradi.
oila topologik fazoning bazasi bo’ladi. topologiyaga baza orqali hosil qilingan topologiya deyiladi.
Isbot. 1) shart bajariladi, chunki da
va da ,
bo’lsin. U holda
va bunda , va ,
bo’lgani uchun 2) shart bajarilishini isbotlash uchun,
ning ga tegishli qism to’plamlarning birlashmasidan iborat ekanligini ko’rsatish yetarli.
ga ko’ra har bir uchun shunday topiladiki, bajariladi. Bundan , bundan .
shart oilaning aniqlanishiga ko’ra bajariladi. Demak, - fazoning
bazasi bo’ladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
