Mundarija Kirish I bob. Topologik fazolarning xossalari

1.2.2.-ta’rif. to’plamdagi topologiya deb ning qism to’plamlaridan
iborat va quyidagi aksiomalarni qanoatlantiruvchi oilaga aytiladi:
va
Agar va bo'lsa, u holda
Agar bo'lsa, u holda
juftlik topologik fazo deb ataladi.
ning oilaga tegishli berilgan qism to’plamlari ochiq to’plamlar deb ataladi. Topologik fazoni berish - bu biror to’plamni olib, unda topologiyani kiritish, ya’ni ning ochiq to’plam deyiladigan qism to’plamlarini aniqlash demakdir. Topologik fazoning elementlari uning nuqtalari deb ataladi¹.
Ochiq to’plamlar oilasining xossalarini quyidagicha ham ifodalash mumkin:
bo’sh to’plam va butun fazo ochiq to’plamdir;
ikkita ochiq to’plamning kesishmasi ochiq to’plam;
ihtiyoriy ochiq to’plamlarning birlashmasi ochiq top’lam.
dan ihtiyoriy cheklita ochiq to’plamlarning kesishmasi ochiq to’plam
bo’lishi kelib chiqadi.
Agar biror va qandaydir ochiq to’plam uchun bo’lsa, ga nuqtaning atrofi deyiladi. Agar har bir nuqta uchun nuqtaning da yotuvchi atrofi mavjud bo’lsa va faqat shu holdagina to’plam ochiq bo’ladi. Bu shart bajarilsa, u holda ga asosan ochiq to’plam bo’ladi.
Endi ma’lum bir to’plamlarga kiritilgan topologiyalar bilan tanishamiz, yani topologik fazo va topologiyaga misollar keltiramiz.
Elementlari nuqtalardan iborat bo’lgan nuqtaviy to’plam ham topologik fazo tashkil etar ekan. Nuqtaviy to’plam sifatida ni olsak, uni topologik fazo ekanligini ko’rsatamiz. qism to’plamlar oilasi sifatida ni topologik fazo aksiomalariga tekshiramiz:
va
, , , ,
,

ekanligini bilish qiyin emas. Bunda har bir lar hamda har bir nuqta ochiq to’plam deb belgilanadi. Demak, topologik fazo bo’lib, u nuqtaviy topologiya deyiladi.
Agar fazoning har qanday bo’sh bo’lmagan ochiq to’plamostisini biror oilaga tegishli to’plamlarning birlashmasi shaklida yozish mumkin bo’lsa, u holda oila topologik fazoning bazasi deyiladi.
Topologik fazo bir nechta bazalarga ega bo’lishi mumkin. Har qanday baza quyidagi xossalarga ega:
ixtiyoriy va ixtiyoriy nuqta uchun shartni qanoatlantiruvchi element mavjud.
har qanday uchun bo’ladigan element mavjud.
- topologik fazoning bazasi bo’lganda ko’rinishdagi kardinal
sonlar to’plami eng kichik elementga ega. Bu eng kichik kardinal son topologik fazoning salmog’i deyiladi va ko’rinishida belgilanadi.
oila elementlarining , chekli kesishmalari baza hosil qilsa, u holda oila fazoning oldbaza deyiladi.
Agar topologik fazoning nuqtasini har qanday atrofi uchun shunday element topilib, bo’lsa, u holda ning atroflari oilasi berilgan ga, nuqtadagi baza deyiladi.
Agar - topologik fazoning bazasi bo’lsa, u holda ni o’z ichiga oluvchi ning elementlaridan tuzilgan oila fazoning nuqtadagi bazasi deyiladi. Ikkinchi tomondan agar , fazoning nuqtadagi bazasi bo’lsa, u holda birlashma fazoning bazasi bo’ladi.
- topologik fazo va har bir uchun fazoning bazasi berilgan bo’lsin. oilaga topologik fazoning atroflar sistemasi deyiladi.
Har bir atroflar sistemasi quyidagi hossalarga ega:
. Har qanday va ixtiyoriy uchun .
. Agar bo’lsa, u holda shunday topiladiki, bo’ladi.
. Ixtiyoriy uchun shunday topiladiki o’rinli bo’ladi.
topologik fazoda to’plamning to’ldiruvchisi ochiq
to’plam bo’lsa, u holda to’plam yopiq to’plam deyiladi. De - Morgan qonunlari va ochiq to’plamning xossalaridan, yopiq to’plamlar oilasi ning quyidagi xossalarini yozishimiz mumkin:
va
Agar va bo’lsa, u holda
Agar bo’lsa, u holda
Bu xossalardan, masalan ni isbotlaymiz.
- yopiq top’lamlar oilasi bo’lsin. Ta’rifga ko’ra, to’ldiruvchi to’plam har bir uchun ochiq to’plam bo’ladi.
munosabat va birlashmaning ochiqligidan
ga ko’ra kesishma yopiq ekanligi kelib chiqadi.
Bir vaqtda ochiq va yopiq bo’lgan to’plam ochiq-yopiq to’plam deyiladi.
to’plamni o’z ichiga oluvchi yopiq to’plamlar oilasini orqali belgilaymiz, u holda . dan kesishmaning yopiq ekanligi kelib chiqadi.
to’plam ni o’z ichiga oluvchi eng kichik yopiq to’plam bo’ladi, ga to’plamning yopilmasi deyiladi. Ravshanki, to’plamning yopiq bo’lishi uchun uning o’z yopilmasi bilan ustma-ust tushishi zarur va yetarli.
fazoning ikkita qism to’plamlari uchun, agar bo’lsa, u holda bo’ladi. Haqiqatdan ham munosabatdan munosabat kelib chiqadi, bu esa .