Mundarija Kirish I bob. Topologik fazolarning xossalari

1.2.8. Misol. - haqiqiy sonlar to’plami, - ko’rinishidagi intervallar oilasi
bo’lib, bu yerda , va - ratsional son oila shartlarni qanoatlantiradi.
oilaning elementlari baza hosil qilgan topologiyaga nisbatan ochiq-
yopiq to’plamlar bo’ladi, ravshanki . ekanligini ko’rsatamiz.
- bo’lgan dagi ochiq to’plamostilar oilasi bo’lsin. U holda
shunday nuqta topiladiki, bu nuqta oilaning har qanday elementining quyi chegarasi bo’la olmaydi. Ochiq to’plamni oilaga tegishli qism oilalarning birlashmasi ko’rinishida yozib bo’lmaydi. Demak, oila to’plam uchun baza bo’la olmaydi.
Yuqoridagi fazo Zorgenfrey to’g’ri chizig’i deyiladi.
1.2.5. Teorema. to’plam va uning shartlarni qanoatlantiruvchi qism to’plamlar oilasi berilgan bo’lsin. oila oilaning qism oilalarining birlashmasidan iborat oila bo’lsin. U holda oila shartlarni qanoatlantiradi.
ga topologik fazoning atroflar sistemasi deyiladi.
topologiyaga atroflar sistemasi orqali hosil qilingan topologiya deyiladi.
1.2.9. Misol. - tekislikning, shartni, qanoatlantiruvchi qism, ya’ni yuqoridan yopiq yarim tekislik. to’g’ri chiziqni bilan belgilaymiz va belgilash kiritamiz. Har bir va uchun orqali to’plamning, ga nuqtada urinuvchi, radiusi ga teng doira ichida yotuvchi nuqtalar to’plamini belgilaymiz. , deb olamiz. Har bir va uchun orqali to’plamning markazi nuqtada bo’lib, radiusi ga teng doira ichida yotuvchi nuqtalar to’plamini belgilaymiz.
Bunda , . oila shartlarni qanoatlantiradi.
atroflar oilasi hosil qilgan topologiyaga nisbatan to’plam yopiq bo’ladi.
fazo Nemitskiy tekisligi deyiladi.
1.2.6. Teorema. to’plam va uning shartlarni qanoatlantituvchi yopiq to’plamlar oilasi berilgan bo’lsin. U holda oila shartlarni qanoatlantiradi.
Bundan topologiyaga - yopiq to’plamlar oilasi bilan hosil qilingan topologiya deyiladi.
1.2.10. Misol. - ixtiyoriy cheksiz to’plam va - to’plamning barcha chekli to’plam ostilaridan va ning o’zidan tuzilgan oila bo’lsin.
oila shartlarni qanoatlantiradi.
- yopiq to’plamlar oilasi hosil qilgan topologiyaga nisbatan da, chekli to’plamlarning to’ldiruvchilari va bo’sh to’plam ochiq bo’ladi.