Mundarija: Kirish: I. Bob. Interval arifmetika asoslari

x = a x + b, (2.18)
, bu yerda a va b ga nisbatan a A, b B, ma’lum.
(2.18)uchun intervalli iteratsion metod sifatida oddiy iteratsiya metodini qaraymiz:
2.5 Teorema.
, k 0 , (4.19)
Iteratsiya quyidagi tenglamaning yagona qo‘zg‘almas nuqtasiga yaqinlashadi:
X = A X + B
Bu yerda yuqoridagi tasdiq r ( |A| ) < 1 bajariluvchi barcha boshlang‘ich shartlar uchun o‘rinli.

Isboti:. Yetarliligi. Dastavval aytib o‘taylik:

.
So‘ngra, r ( |A| ) < 1 va |A| 0 (0- dagi nol element) bo‘lganda, u xolda mavjud va

bo‘lishini aytib o‘tamiz. Bu yerda ixtiyoriy k va m 1 uchun

ga egamiz. bo‘lganda, {X(k)} ketma-ketlik Koshi ketma-ketligi deyiladi va bundan buladi, bu yerda X*=AX*+B. X* ning yagonaligi
.
dan kelib chiqadi.
Zaruriyligi. Faraz kilaylik iteratsiya ixtiyoriy boshlang‘ich shartda X* ga yaqinlashsin. r (|A|) < 1 bo‘lishini ko‘rsatamiz. Perron –Frobenius teoremasiga ko‘ra nomanfiy xaqiqiy |A| = (|Aij|) matritsa r ( |A|) xususiy qiymatiga mos keluvchi nomanfiy xususiy vektoriga ega.
Ixtiyoriy X(0) uchun X(k) ning X* ga yaqinlashishidan ning (X*) га yaqinlashishi kelib chiqadi. X (0) ni shunday tanlaymizki, (X(0)) |A| vektorning ( |A| ) xususiy qiymatiga mos keluvchi xususiy vektoridan iborat bo‘lsin ва (X(0) ning komponentlaridan kamida biri ning mos komponentasidan katta bo‘lsin. U xolda, r ( |A| ) 1 bo‘lsa

ga egamiz. Limitga o‘tish bilan, X (0) ga qarama-qarshi bo‘lgan Teorema isbotlandi.
bo‘lishini ko‘rish qiyin emas. Bundan tashqari Х* quyidagi ma’noda optimal bo‘ladi: bajarilgan intervalli vektor mavjud emas.
Aslini olganda, X* = AX* + B tenglikdan
,
kelib chiqadi, bu yerda

ya’ni . Boshkacha aytganda, х *,х* { х|х=ах+b, aϵ A, b B}.
Biz iteratsiyani (4.19) formula bo‘yicha ixtiyoriy uchun boshlasak, u xolda tenglikni qaramasdan X* ga kafolat yo‘q, demakki, X bajariladi.
Boshqa tomondan, agar X* shartda olinsa bunda yuqoridagi kafolat bo‘ladi. Xaqiqatdan, monotonlikdan

va X* ва X* + B induksiya bo‘yicha
.
Bundan (2.19) algoritmining shakl o‘zgarishi kelib chiqadi. ni shundan tanlaymizki, X* bo‘lsin va .
Yuqorida aytilganlardan kelib chiqadiki, barcha k = 1,2,... lar uchun X* bajariladi. Agar hisoblash interval arifmetikasi mashinada olib borilsa, u xolda bu ketma – ketlik chekli qadamda yaqinlashadi, ya’ni dan boshlangan qadamda tenglik bajariladi va iteratsiya tugaydi.
(2.6) sistemalari uchun yanv bir yondashuv quyidagicha keltiriladi.tenllamaning ikki tarafini aynimagan Y matritsaga ko‘paytiramiz. Masalan, va T = e – Ys deb olamiz. Agar ||T||<1 bo‘lsa, u xolda vektorni shunday olamizki, bo‘lsin va quyidagi ketma-ketlikni aniqlaymiz


(2.20)
Quyidagi teorema o‘rinli.